华东师范大学数学系《数学分析》（第4版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详

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内容简介
目录
第1章　实数集与函数
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　1.3　名校考研真题详解
第2章　数列极限
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　2.3　名校考研真题详解
第3章　函数极限
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　3.3　名校考研真题详解
第4章　函数的连续性
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　4.3　名校考研真题详解
第5章　导数和微分
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　5.3　名校考研真题详解
第6章　微分中值定理及其应用
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　6.3　名校考研真题详解
第7章　实数的完备性
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
第8章　不定积分
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　8.3　名校考研真题详解
第9章　定积分
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　9.3　名校考研真题详解
第10章　定积分的应用
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　名校考研真题详解
第11章　反常积分
　11.1　复习笔记
　11.2　课后习题详解
　11.3　名校考研真题详解
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内容预览
第1章　实数集与函数
1.1　复习笔记
一、实数
1．相关定义
（1）给定两个非负实数

其中a0，b0为非负整数，ak，bk（k＝1，2…）为整数，0≤ak≤9，0≤bk≤9．若有

则称x与y相等，记为x＝y；若a0＞b0或存在非负整数l，使得

则称x大于y或y小于x．分别记为x＞y或y＜x．
对于负实数x，y，若按上述规定分别有－x＝－y与－x＞－y，则分别称x＝y与x＜y（或y＞x）．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．
（2）设

为非负实数，称有理数

为实数x的n位不足近似，而有理数

称为x的n位过剩近似，n＝0，1，2，…．
对于负实数

其n位不足近似与过剩近似分别规定为

2．重要定理
设

与

为两个实数，则x＞y的等价条件是：存在非负整数n，使得

，其中xn表示x的n位不足近似，

表示y的n位过剩近似．
3．实数性质
（1）实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数．
（2）实数集是有序的，即任意两实数a，b必满足下述三个关系之一：a＜b，a＝b，a＞b．
（3）实数的大小关系具有传递性，即若a＞b，b＞c，则有a＞c．
（4）实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若b＞a＞0，则存在正整数n，使得na＞b．
（5）实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数．且既有有理数，也有无理数．
（6）如果在一直线（通常画成水平直线）上确定一点O作为原点，指定一个方向为正向（通常把指向右方的方向规定为正向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上惟一的一点；反之，数轴上的每一点都惟一地代表一个实数．于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应关系．
4．实数绝对值的性质
（1）|a|＝|－a|≥0；当且仅当a＝0时有|a|＝0．
（2）－|a|≤a≤|a|．
（3）|a|＜h?－h＜a＜h；|a|≤h?－h≤a≤h（h＞0）．
（4）对于任何a，b∈R有如下的三角形不等式：
（5）

（6）

（7）

二、数集·确界原理
1．区间与邻域
（1）区间：设a,b∈R，且a＜b．称数集﹛x|a＜x＜b﹜为开区间，记作（a，b）；数集{x|a≤x≤b﹜称为闭区间，记作[a，b]；数集﹛x|a≤x＜b}和{x|a＜x≤b﹜都为半开半闭区间，分别记作[a，b）和（a，b]，以上这几类区间统称为有限区间．
满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a．＋∞）．符号∞读作“无穷大”，＋∞读作“正无穷大”．记

其中﹣∞读作“负无穷大”．以上这几类数集都称为无限区间．有限区间和无限区间统称为区间．
（2）邻域：设a∈R，δ＞0，满足绝对值不等式|x－a|＜δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），或简单地写作U（a）．即有

点a的空心δ邻域定义为

（3）常用几种邻域
①点a的δ右邻域U＋（a；δ）＝[a,a＋δ），简记为U＋（a）；点a的δ左邻域U—（a；δ）＝（a－δ,a]，简记为U—（a）．
②U—（a）与U＋（a）去除点a后，分别为点a的空心δ左、右邻域，简记为U0—（a）与U0＋（a）．
③∞邻域U（∞）＝﹛x︱|x|＞M}，其中M为充分大的正数（下同）；＋∞邻域U（＋∞）＝﹛x|x＞M﹜；－∞邻域U（－∞）＝{x|x＜M﹜．
2．有界集·确界原理
（1）相关概念
①设S是R中的一个数集．若存在数M（L），使得对一切x∈S，都有x≤M（x≥L），则称S为有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的个上界（下界）．
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．
②设S是R中的一个数集．若数η满足：
a．对一切x∈S，有x≤η，即η是S的上界；
b．对任何α＜η，存在x0∈S，使得x0＞α，即又是S的最小上界．
则称数η为数集S的上确界，记作

③设S是R中的一个数集．若数ξ满足：
a．对一切x∈S，有x≥ξ，即ξ是S的下界；
b．对任何β＞ξ，存在x0∈S，使得x0＜β，即ξ又是S的最大下界．则称数ξ为数集S的下确界，记作

④上确界与下确界统称为确界．
（2）重要定理
①确界原理：设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界,则S必有下确界．
②推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界．
三、函数概念
1．函数的定义
给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有惟一的一个数y∈M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作

　（1-1）
数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y称为f在点x的函数值，常记为f（x）．
2．函数的表示法
主要有三种，即解析法（或称公式法）、列表法和图像法．
3．函数的四则运算
给定两个函数

和

记

，并设

，定义f与g在D上的和、差、积运算如下:

若在D中剔除使g（x）＝0的x值，即令

可在D*上定义f与g的商的运算如下：

注 若D＝D1∩D2＝?，则f与g不能进行四则运算．以后为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写作

4．复合函数
设有两函数

　 （1-2）
记E*＝{x|g（x）∈D}∩E．若E*≠?，则对每一个x∈E*，可通过函数g对应D内惟一的一个值u，而u又通过函数f对应惟一的一个值y，这就确定了一个定义在E*上的函数，它以x为自变量，y为因变量，记作

称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，（2）式中的u为中间变量．函数f和g的复合运算也可简单地写作

．
5．反函数
设函数

　（1-3）
满足：对于值域f（D）中的每一个值y，D中有且只有一个值x，使得f（x）＝y．
则按此对应法则得到的函数称为反函数，它是一个定义在f（D）上的函数，记作

或

　 （1-4）
6．初等函数
（1）常量函数y＝c（c是常数）；
（2）幂函数y＝xα（α为实数）；
（3）指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）；
（4）对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）；
（5）三角函数y＝sin x（正弦函数），y＝cos x（余弦函数），y＝tan x（正切函数），y＝cot x（余切函数）；
（6）反三角函数y＝arcsin x，（反正弦函数），y＝arccos x（反余弦函数），y＝arctan x（反正切函数），y＝arccot x（反余切函数）．
四、具有某些特性的函数
1．有界函数
（1）设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有

则称f为D上的有上（下）界函数．M（L）称为f在D上的一个上（下）界．
（2）设f为定义在D上的函数，若存在正数M，使得对每一个x∈D有

　 （1-5）
则称f为D上的有界函数．
2．单调函数
（1）设f为定义在D上的函数，若对任何x1，x2∈D．当x1＜x2时，总有：
①f（x1）≤f（x2），则称f为D上的增函数．特别当成立严格不等式f（x1）＜f（x2）时，称f为D上的严格增函数；
②f（x1）≥f（x2），则称f为D上的减函数．特别当成立严格不等式f（x1）＞f（x2）时，称f为D上的严格减函数；
（2）增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数．
（3）定理：设y＝f（x），x∈D为严格增（减）函数，则，必有反函数f﹣1,且f﹣1在其定义域f（D）上也是严格增（减）函数．
3．奇函数和偶函数
设D为对称于原点的数集，f为定义在D上的函数，若对每一个x∈D有
f（﹣x）＝﹣f（x）（f（﹣x）＝f（x）），
则称f为D上的奇（偶）函数．
4．周期函数
设f为定义在数集D上的函数，若存在σ＞0，使得对一切x∈D，x±σ∈D，有f（x±σ）＝f（x），则称为周期函数，σ称为f的一个周期，显然，若σ为f的周期，则nσ（n为正整数）也是f的周期．若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为f的基本周期，或简称周期．

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