[专业课活动]高等代数天天见－３（已公布答案）

[s:2]
欢迎大家参加今天的活动，将你的解答回复．（以ＪＰＧ图片或ＷＯＲＤ格式回复），只回复解题思路也行．至于上传附件的方法，我经常是先回复一句话，再在自己的回帖右下角点＂编辑＂就可以上传附件了，不知道别人有没什么更好的方法．

没有公式编辑器的，到下面这个帖子里可以下载
http://bbs.freekaoyan.com/thread-131486-1-1.html
如果大家有什么好题目欢迎拿出来和大家一起分享哦．

另外对非数学专业的朋友们说几句：本活动主要是针对数学专业以及工科专业中初试要考高等代数的朋友．欢迎不考高等代数的朋友参加活动，但如果做不出来不要恐慌哦．实在不好意思，前两天好象给某些朋友造成心理压力了．

今天的题目如下，答案随后．

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-9-8 09:26 编辑 ]

用cauchy-benit公式证明

AB(AB)*=|AB|E=|A||B|E
AB(B*A*)=A(BB*)A*=A(|B|E)A*=|B|AA*=|B||A|E
（1）若|A||B|不等于0，即A,B皆可逆。
所以(AB)*=B^-1A^-1|A||B|E
B*A*=B^-1A^-1|A||B|E
所以(AB)*=B*A*
（以下刚开始，我没考虑。看起来不能轻视那些基本题目。特变别像这种感觉像定理的。
另外，对定理的应用也得清楚知道其适用性）
（2）若|A||B|等于0。情况就复杂多。
（由向量的特征值有有限多个可以得出以下思路）
考虑矩阵A(x)=A-xE,B(x)=B-xE,其中x为实数，E为单位矩阵。
由于A和B都只具有有限个特征值。所以存在无限多个x，
使得|A(x)|,|B(x)|不等于0。
由（1）可知（A(x)B(x)）*=B(x)*A(x)*,对无穷多个x成立。
记（A(x)B(x)）*=(Fij(x))nxn,B(x)*A(x)*=(Gij(x))nxn，
由上式得Fij(x)=Gij(x),(i,j=1,2,...,n)。
也就是说：有无穷多个x,使上式成立，但Fij(x),Gij(x)是次数有限的多项式，故对任意x
都有Fij(x)=Gij(x).特别地，Fij(0)=Gij(0)。
此时,就能得出(AB)*=(A(0)B(0))*=B(0)*A(0)*=BA。
证毕。
第二步真的很难，不知还有没简单证法。

[ 本帖最后由 307872338 于 2008-5-22 12:06 编辑 ]

版主能不能出一些难一点点的，最好是一些名校的真题。

楼上的怎么这么吝啬呢 觉得简单 答案还不公布[s:10]

我是见习新手无法上传图片啊

http://gdjpkc.xmu.edu.cn/FlashSh ... p;dID=15&lID=67
这里面有

原帖由 307872338 于 2008-5-22 10:06 发表
版主能不能出一些难一点点的，最好是一些名校的真题。

昨天和今天的都是真题，今天的是吉林大学的，昨天的记不清是哪个学校的了．前天的那题是一个学校高等代数选讲的例题．这几天的题目是比较简单，我会努力的，当我的能力有限，确实人手也不够．最近正在找节目主持人．希望数学专业能有人来共同做这个活动．

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-5-22 12:54 编辑 ]

这个题目骑士还可以用扰动法来作，不过要限制是数值矩阵

原帖由 307872338 于 2008-5-22 09:58 发表
AB(AB)*=|AB|E=|A||B|E
AB(B*A*)=A(BB*)A*=A(|B|E)A*=|B|AA*=|B||A|E
（1）若|A||B|不等于0，即A,B皆可逆。
所以(AB)*=B^-1A^-1|A||B|E
B*A*=B^-1A^-1|A||B|E
所以(AB)*=B*A*
（以下刚开始，我没考虑。看 ...

这是我重新改正的证法，现在觉得其实这道题目真的很好，呵呵。也不简单