守恒问题

En：
怎么理解：能量（动量）守恒的同时，能量（动量）又不确定呢？？

Galois：
首先应该澄清：什么叫做物理量没有确定的值？？

以动量为例，我们知道，在量子力学中，一个粒子并不总是具有确定的动量。比如，一个粒
子处于位置本征态，或者，处于轨道角动量本征态，这时，粒子的动量不具有确定的值。但
这并不意味着动量就没有确定的值，而只是表明：粒子的位置与动量不能同时具有确定的
值！！

好，现在我们知道，粒子是可以具有确定的动量的，比如用平面波描述的自由粒子。也可以
没有确定的值，比如当一个粒子的位置被确定了。那么，动量守恒到底是什么意思？

以两个自由粒子的散射为例，它们都处于动量的本征态，都具有确定的动量，则，在它们相
互作用的过程中，总动量必定守恒。这一点，并不因为量子力学而受到破坏。

是不是当粒子不具有确定的动量时，动量守恒就不再有效呢？我不这样认为。考虑氢原子
（设其静止）中的一个电子，这个电子处于哈密顿量与角动量共同本征态，不具有确定动
量，且电子平均动量 Pe 为零。好，用一个动量为 Px 的X射线光子去把电子从原子中打出
来（即电离）。设在这个过程中原子不动（这是合理的，因为原子的质量大的太多，反冲可
以忽略），那么可以肯定，被打出来的电子与作用后出射的X射线光子的总动量必然等于反
应前的总动量Pe+Px。这正是康普顿实验告诉我们的。

En：
你的意思是否说动量守恒只在相互作用中起作用？？
单个粒子没有什么动量守恒之说？

Galois：
no
单个粒子也是一个系统，它的动量守恒，除非有外来作用。
多个粒子也是一个系统，它们的总动量守恒，除非有外来作用影响其中某一个或多个粒子。

Galois：
“还是不懂什么是不确定关系。
位置与动量不能同时确定，那谁来选择确定哪一个？粒子本身还是测量？”
若你想讨论处于某一确定的态的粒子（比如用波函数phi（x，t）描述的态），则它的所有
力学量是否有确定的值，以及是否守恒，都是完全清楚地取决于这个态，或说波函数。
若你想讨论的是一个你并不确定其态的粒子，那么，你只能通过测量来了解。比如你用一个
盖革计数器在空间各点作大量的重复测量（不是一次接一次，而是对粒子的原来未被测量影
响的态的反复测量），你发现粒子在各点出现几率一样，那你可以了解到粒子处于平面波
态，具有确定动量。
所谓位置与动量不能同时确定，这是粒子本身动力学行为的一个根本特征，也是对于人类测
量能力的一个限制。杨福家的话，就是上一句话的前半句的意思。


“我的疑惑是：（单个粒子）守恒定律似乎要求动量是不变的，但不确定度似乎说明动量一
直在变。”
这个问题很棒。在量子力学里，守恒定律一般地来说应该被理解为平均值（比如动量算符在
这个态的期望值）。所以，假如一个粒子并不处于动量本征态，它的动量在某一次测出来可
能是这个值也可能是那个值，但大量测量的平均值是不变的。

“任何一个都可以无限准确的测量，只不过不能同时干。另外能量和动量没有天然的不确定
性吧。”
无限准确是很难做到的，但原则上是可以的。动量可以准确测量，位置也可以准确测量，但
你不能同时准确测量动量和位置。

Ymliu：
能级有宽度和寿命，这也反映了测不准原理。

Iceflame：
“既然动量和能量都可以无限准确的测量，那么可不可以这样呢？
先无限精确的测量粒子位置x1，然后再在Δt后无限精确的测量粒子的动量。由于光速是粒
子速度的上限，所以在第二个时刻粒子位置的不确定度Δx=cΔt，这是一个有限值，而Δ
p=0，这样ΔxΔp=0了。违反测不准原理。
这是不是说明在量子力学里没有速度上限呢？”

在第一次测量了x以后，粒子已经不再处于同一个态了，所以即使第二次可以得到p，也不
能说违反了测不准定律，关键在于第一次的测量已经改变了粒子的态，如果要想推翻测不准
定律，必须同时精确测量x和p。

教主：
“在第一次测量了x以后，粒子已经不再处于同一个态了，所以即使第二次可以得到p，也不
能说违反了测不准定律，关键在于第一次的测量已经改变了粒子的态，如果要想推翻测不准
定律，必须同时精确测量x和p。 ”

我说的意思是对第二次测量而言，第二次测量时如果承认光速有限，则粒子位于x±cΔt的范
围内，而这时你精确的测量了它的动量，Δp为零。对第二次测量来说，Δx=cΔt
Δp=0。这时ΔxΔp=0了。
不过也许在第一次测量后，粒子不会是严格的平面波，也许不能精确的测定动量了。

Galois：
“我说的意思是对第二次测量而言，第二次测量时如果承认光速有限，则粒子位于x±cΔt的
范围内，而这时你精确的测量了它的动量，Δp为零。对第二次测量来说，Δx=cΔt
Δp=0。这时ΔxΔp=0了。 ”

我的看法是，在量子力学里头，不能用速度的观念来直接描述粒子的运动，因而，你所说的
“粒子位于x±cΔt的范围内”尚待证明。
第二点是：设你的第一次测量后粒子处于态
phi(x,t) ,且假设你所说的粒子Δt时位于x±cΔt的范围内是对的，但当你想办法测得粒子动量
为p时，粒子已经不在态 phi(x,t) , 而已经变到新的态，且这个新的态的位置不确定度一定
是无限大。

En：
这个问题很有意思。
我认为能量的传播速度小于光速应该没问题。所以Δx小于cΔt也应该是对的。
但拿非相对论的不确定关系用到这儿是否有欠妥当？在一个非常短的时间内改变一个态，使
它从位置本正态变到动量本正态，是否得考虑相对论情况？
我猜想在相对论情况下，不确定关系中还应该加上别的要素，这个要素在非相对论情况下是
确定的，但在相对论情况下是可变的，比方说把不确定关系改为 ΔmΔxΔp<=...

992141：
关于守恒问题，还有一个疑问
我们在推导时，是对<A>进行的，然后得只要满足
<[A,H]>=0即可。
但是我们在说守恒量的性质的时候，又说它的性质是平均值守恒和几率守恒，到底什么是它
的定义？
另外，如果一个力学量A若不能与H对易，但是<[A,H]>是为0，那么他还是守恒量吗？

Comments by Galois:
1。在Heisenberg Picture 态矢不随时间改变，而算符随时间演化，守恒量就是在
Heisenberg Picture 中定义为: 算符A(t)满足 d A(t) / d t = 0。我们知道，在Heisenberg
Picture 中一个算符 A(t) = exp(i*H*t) A exp(-i*H*t)，其中A为Schroedinger Picture中相
应的算符，设其不明显含有时间。则立即有：d A(t) / d t ＝ exp(i*H*t) [H , A] exp(-
i*H*t),我们立即看到，要且只要 [H , A] = 0 ,则立即有 d A(t) / d t = 0 (而不是   d
<A> / d t = 0 ) ，可见与 H 对易的（且不显含时间的）算符就是一个守恒量，d <A> /
d t = 0 是守恒性质的一个自然推论（因为Heisenberg Picture 态矢不随时间改变）。
2。在谈到守恒量A时，我们常常关心的是它的系综平均值<A>不随时间改变，这有两个原
因，一是因为我们在实验上能测到的就是平均值，二是因为体系并不一定处于算符 A 的本
征态因而 A 虽然守恒却不一定取确定值。即使 t = 0 的初态 phi(t=0) 是A的本征态，phi
(t>0) 未必是 A 的本征态，除非phi(t=0)是 A 与 H 的共同本征态。但无论如何，只要 A
是守恒量，它的系综平均值是不随时间变化的。
3。现在来问：如果 A （仍考虑 A 不显含时间）不是守恒量，即 d A(t) / d t 不为 0 ，A
与 H 不对易，那么是否可能仍有 d <A> / d t = 0 ? 此时要求[H , A] 不为零而       
d <A> / d t = < phi | exp(i*H*t) [H , A] exp(-i*H*t) | phi > = 0 , 这个式子能不能成立
呢？只能说，对于某一非常特殊的非守恒算符 A ，在某一特定的态 | phi > 下，或许可能
成立，但这并没有普遍的意义。



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