帮忙解几道高代题目

1、
设f(x)∈Z[x]，p是正素数，如果p不整除f(k) k=0,1,…,p-1，则f(x)无整数根。
2、
设A是n阶方阵，满足A2-5A+6E=0。求可逆矩阵T，使T-1AT为对角形。
希望有人给我一点思路
先谢谢了！
A2代表矩阵A的平方，T-1代表T的逆。

5楼还有问题呢

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-12-18 16:34 编辑 ]

1 若f(x)有整数根，设为m  则由带余除法可知 m=np+r   （r=0,1,...,p-1)
   带入原式 有f(m)=连加号Ai（np+r）^i=pM+f(r)=0 其中M为一整数
   显然，p=PM（mod p）  但是p不整除f（r） （已知）  这与f(m)=0 矛盾
ps  p没必要是素数  大于1的正整数即可

[ 本帖最后由 usm007 于 2008-12-14 13:36 编辑 ]

2 由A2-5A+6E=0 可知 A的最小多项式必为x^2-5x+6 的因式
从而A的特征值只能为-1 和 6
  由已知有
  r（A-6E)+r(A+E)<=n
   又r(A-6E)+r(-A-E)>=r(-7E)=n
故 r（A-6E)+r(A+E)=n A可对角化  （这是由于A-6E是对应于-1的特征向量构成的矩阵，同理。。。）
  若A的特征值全为-1 则必有n维特征子空间  由于（-E-A）（A-6E）=0    此时取 T=A-6E即可
  若A的特征值全为6  同理
  若A的特征值为-1和6   设重数分别为p q  
  此时取A-6E 线性无关的p列   E+A线性无关的q列 组成T列向量即可
Ps  不知有没有简便点的方法呢？

[ 本帖最后由 usm007 于 2008-12-14 14:02 编辑 ]

谢谢usm007，第2题我问了一下同学，都没有更好的方法了

1、
证明：n>=3阶的实方阵A，如果它的每一个元素等于自己的代数余子式乘以-1，且至少有一元素不为零，则它是正交阵。


2、
设A是有限维线性空间V的变换，W是V的子空间，AW表示W中向量的象组成的子空间，证明：维（AW）+维（A(-1)(0)∩W）=维（W）。


3、
设V1、V2为n维欧氏空间V的子空间，且dimV1<dimV2，证明V2中有非零向量同V1正交。


4、
设f(x)∈Z[x].a1、a2、a3、a4为互不相同的整数，且f(a1)=f(a2)=f(a3)=f(a4)=2.试证：对任意整数n，f(n)-2不为素数.

5、
设A∈P(m×n)，且秩(A)=r，求AXA=A的所有解。

1  有一元素不为零说明 A可逆    由已知可得A*=-At （转置）  从而由于AA*=|A|I 可推得|A|=-1
    故有AAt=A(-A*）=I
2  将映射限制在W上即可  证ker f|w=A(-1)(0)∩W
3  实际上是证明V1的正交补 交 V2不等于零   设V1 V2 维数分别为a b
   （方程组这里打不出） 可证得V1的正交补维数n-a   则由于a<b 从而n-a+b>n  ...得证
4  设F(x)=f(x)-2   反证法 则a1  a2  a3  a4 是F(x)的根 。。。。
5   这题打不出来。。。
    r(A)=0   显然任意矩阵成立
   r(A)不等于零时，把A化为标准型 从而~~~分块阵打不出来，~~~~~

第2题，W必须是V的不变子空间时才能将A看成是W的线性变换啊

第二题特征值错了。。。

哦 那就用基扩充的观点  设A(-1)(0)∩W基为。。。 扩充为w的基  。。。，考察f（w)

惭愧 确实算错了， 但解法我想还是可以的