关于一元函数定积分的证明题

d9j9h · 发表于 11-1-18 19:38:39

关于一元函数定积分的证明题已知f(x)在闭区间[a,b]连续,求证在[a,b]存在一点c,使得f(x)从a到c的定积分,等于f(x) 从c到b的定积分。

tianliangzh · 发表于 11-1-19 14:58:13

设F(x)为从a到x的积分减去从x到b 的积分，假设原来积分大于0，则F(a)<0,F(b)<0,显然连续，由零点定理知道，存在c使得F(x)=0,得证，小于0时类似，等于0的情况只要考虑f(x)-m即可

lxdyahoo · 发表于 11-1-19 18:00:59

闭区间连续性=》可积性
闭区间连续性的性质
可积性的性质互相整理下书中的定理结果就明了了

lxdyahoo · 发表于 11-1-19 18:03:00

此题必然用到了闭区间上函数连续性的介值定理

d9j9h · 发表于 11-1-20 11:48:04

改为开区间的时候，结论就不一定成立了。反例：y=sinx显然在[ 0,2π ]连续，但是在(0,2π)内却找不到c使得结论成立。这个反例正确吗？如何证明这个反例呢？

lxdyahoo · 发表于 11-1-21 10:58:53

因为你那么写就不能积分了只能写成趋于端点极限的积分

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