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标题: 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 [打印本页]

作者: 8188488 时间: 14-1-9 14:19
标题: 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案

一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1) 当时，若，均是比高阶的无穷小，则的取值范围是( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】B

【解析】由定义

所以，故 .

当时，是比的高阶无穷小，所以，即 .

故选B

(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )

(A) (B)

【答案】C

【解析】关于C选项： .

，所以存在斜渐近线 .

故选C

(3) 设函数具有2阶导数，，则在区间上（）

(A) 当时， (B) 当时，

【答案】D

【解析】令，则

, .

若，则，在上为凸的.

又，所以当时，，从而 .

故选D.

(4) 曲线上对应于的点处的曲率半径是（）

(A) (B) (C) (D)

【答案】C

【解析】

故选C

(5) 设函数，若，则（）

(A) (B) (C) (D)

【答案】D

【解析】因为，所以

故选D.

(6) 设函数在有界闭区域上连续，在的内部具有2阶连续偏导数，且满足及，则（）

(A) 的最大值和最小值都在的边界上取得

(B) 的最大值和最小值都在的内部上取得

(D) 的最小值在的内部取得，最大值在的边界上取得

【答案】A

【解析】记

则 ,所以在内无极值，则极值在边界处取得.

故选A

(7) 行列式 ( )

(A) (B) (C) (D)

【答案】B

【解析】由行列式的展开定理展开第一列

(8) 设均为三维向量，则对任意常数 ,向量组 , 线性无关是向量组线性无关的 ( )

(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】 .

记，， . 若线性无关，则，故线性无关.

举反例. 令，则线性无关，但此时却线性相关.

综上所述，对任意常数，向量线性无关是向量线性无关的必要非充分条件.

故选A

二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

(9) __________.

【答案】

【解析】

(10) 设是周期为的可导奇函数，且，则 __________.

【答案】1

【解析】且为偶函数

则

又且为奇函数，故

又的周期为4，

(11) 设是由方程确定的函数，则 __________.

【答案】

【解析】对方程两边同时对求偏导

当时,

故

(12) 曲线的极坐标方程是，则在点处的切线的直角坐标方程是__________.

【答案】

【解析】由直角坐标和极坐标的关系，

于是对应于

切线斜率

所以切线方程为

即

(13) 一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度 ,则该细棒的质心坐标 __________.

【答案】

【解析】质心横坐标

(13) 设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_________.

【答案】

【解析】配方法：

由于二次型负惯性指数为1，所以，故 .

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

求极限

【解析】

(16)(本题满分10分)

已知函数满足微分方程，且，求的极大值与极小

值.

【解析】由，得

………………………………………………………①

此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为

由得

又由①可得

当时，，且有：

所以在处取得极小值，在处取得极大值

即：的极大值为1，极小值为0.

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