[ 区间可导函数的导数不能有第一类间断的Lagrange有限增量定理证明 ]

看来不让做楼主啊，手机上编辑得好好的贴出来怎么老出错，不少胳膊就掉腿。放沙发上啦！

运用Lagrange有限增量定理证明：若函数在某一区间内可导，则其导数在此区间内要么连续要么有第二类间断，而不能有第一类间断。证明简述如下：首先引入导数的极限定理：假定函数f(x)在闭区间[a,a+h] (h>0)内连续，并且当x>a时有有限导数f'(x)。若x趋于a时f'(x)存在着(有限或无穷)极限K，则在点a处f(x)的右方导数也等于K。证明：事实上，在a<δ<a+h时，成立Lagrange有限增量公式[f(a+δ)-f(a)]/δ=f'(a+θδ)，若令δ趋于0，则由于θ(0<θ<1)的有界性，导数的变元a+θδ趋于a，于是等式的右端，随之而左端，就趋于极限K，此即所欲证者。对于a的左方邻域也可建立类似的论断。现假设区间中某点η是导数的第一类间断点，因而导数在此点有跃度，比方说右方跃度，即f'(η+0)不等于f'(η)。然而已证得的导数极限定理却告诉我们f'(η+0)等于f'(η)。因而假设不真，即导数不能有第一类间断点。由上述定理的论断就可推得，若导数f'(x)在某一区间内存在，则它本身也是x的函数，且这函数不能有通常的间断或跃度：在每点处，它或是连续，或是有第二类间断。[注：手机发帖编辑多有不便，所用变量与常规所用有所出入，但不致影响理解，见谅为盼！]

好！谢谢！