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范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)课后习题详解

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ooo 发表于 17-8-6 15:07:26 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
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内容简介、编委
目录
第1章 技 术
第2章 利润最大化
第3章 利润函数
第4章 成本最小化
第5章 成本函数
第6章 对 偶
第7章 效用最大化
第8章 选 择
第9章 需 求
第10章 消费者剩余
第11章 不确定性
第12章 经济计量学
第13章 竞争市场
第14章 垄 断
第15章 博弈论
第16章 寡头垄断
第17章 交 换
第18章 生 产
第19章 时 间
第20章 资产市场
第21章 均衡分析
第22章 福 利
第23章 公共物品
第24章 外部效应
第25章 信 息
第26章 数 学
第27章 最优化
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            
??范里安的《微观经济学(高级教程)》是世界上最受欢迎的高级微观经济学教材之一,也被国内众多院校指定为考博参考书目。为了帮助学员更好的学习范里安《微观经济学(高级教程)》这本经典教材,我们精心编著了它的配套辅导用书(均提供免费下载,免费升级):范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解
??本书是范里安《微观经济学(高级教程)》教材的配套电子书,参考国外教材的英文答案和相关资料对范里安《微观经济学(高级教程)》(第3版)教材每章的课后习题进行了详细的解答,并对个别知识点进行了扩展。课后习题答案久经修改,非常标准,特别适合应试作答和临考冲刺。
??圣才学习网│经济类(www.100xuexi.com)提供全国各高校经济类专业考研考博辅导班【一对一辅导(面授/网授)、网授精讲班等】、多媒体电子书、多媒体题库(免费下载,免费升级)、全套资料(历年真题及答案、笔记讲义等)、经济类国内外经典教材名师讲堂、考研教辅图书等。本书特别适用于参加研究生入学考试指定考研考博参考书目为范里安所著的《微观经济学(高级教程)》的考生,也可供各大院校学习微观经济学的师生参考。
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内容预览
第1章 技 术
1.如果

是个凸集,那么相关的生产集

一定是凸的。对或错?
True or false ? If

is a convex set, then the associated production set

must be convex.
答:这个说法错误。理由如下:
凸生产集意味着凸投入要素集,但是反过来不成立。首先证明凸生产集意味着凸投入要素集:
证明:如果

是一个凸集,那么可以得出,对任何使



都在

中的



′来说,一定会有



中,即



中。从而可知:如果





中,那么

也在

中,从而可知

也是凸的。
下面举反例说明凸的投入要素集并不意味着凸的生产集。考虑由生产函数

规定的技术。生产集

当然不是凸的,但投入要素集

是凸集。
2.当

时,CES生产函数

的替代弹性是什么?
What is the elasticity ofsubstitution for the general CES technology

when

?
解:为了计算替代弹性,首先要计算技术替代率,根据技术替代率的定义:

上式两边取对数后得到:

根据替代弹性的定义:


3.将要素

的产出弹性定义成:

,如果

,每个要素的产出弹性是什么?
Define the output elasticity of afactor

to be

.If

, what is the outputelasticity of each factor?
解:

,从而第一个要素的产出弹性为:

第二个要素的产出弹性为:


4.如果

是规模弹性,

是要素

的产出弹性,证明:

If

is theelasticity of scale and

is the output elasticity of factor

, show that

证明:对生产函数

,令

,其中

。规模弹性的定义为:

从而:

再利用产出弹性的定义就有:

           
5.对CES生产函数而言,

的规模弹性是什么?
What is the elasticity of scale ofthe CES technology,

?
答:

这意味着CES生产函数显示出不变规模收益,因此规模弹性为1。
或者用定义也可以求得这一结果,由于

所以:

,在

时计算这个导数的值并除以

,得到规模弹性为1。
6.当且仅当

时,可微函数

是严格增函数,判断对或错?
True or false? A differentiable function

is astrictly increasing function if and only if

.
答:该命题不正确。这是因为:如果

,可微函数是严格增函数,但反过来,则不一定成立。举例来说明,函数

是可微的,并且严格递增,但在

处的导数为零。
7.如果

是位似技术函数,并且



生产同样水平的产出,那么



也一定生产同样水平的产出。请证明这个结论。
In the text it was claimed that if

is a homothetictechnology and

and

producethe same level of output, then

and

must alsoproduce the same level of output. Can you prove this rigorously?
证明:首先阐述一下位似技术的定义:
位似技术是一个一次齐次函数的单调变换。换句话说,函数

是位似的,当且仅当它可以表示成

,其中

是一次齐次的,

是单调函数。
由于



′生产同样水平的产出,从而有

,又因为函数

是单调的,所以必有

,于是:





也一定生产同样水平的产出.
8.如果

是位似函数。证明它在

处的技术替代率等于它在

处的技术替代率。
Let

be ahomothetic function. Show that its technical rate of substitution at

equals itstechnical rate of substitution at

.
证明:位似函数可以写成

,其中

是一次齐次函数,

是单调函数。位似函数



处的技术替代率为:

从上式可以看出,一个位似函数的技术替代率与相应的一次齐次函数的技术替代率相等。而一次齐次函数在

处和

处的技术替代率相等,因此位似函数在

处和

处的技术替代率也相等。
9.考虑CES生产函数:

。证明可以把它写成

的形式。
Consider the CES technology

.Show that we can always writethis in the form

.
证明:改写过程如下:

最后令




10.假设

是一个生产集。如果



中和



中意味着



中,就可以认为该技术是加性的。如果



中,并且对任意的





中,就可以认为该技术是可分性的。证明:如果一项技术既是加性的又是可分性的,那么

一定是凸的且表现出规模报酬不变。
Let

be a production set. We say that thetechnology is additive if

in

and

in

implies that

is in

. We say that the technology isdivisible if

in

and 0≤

≤1 implies that

is in

. Show that if a technology is bothadditive and divisible, then

must be convex and exhibit constantreturns to scale.
证明:由于该技术满足可分性,这就意味着对于任意的介于0到1之间的实数





都在

中。而加性则意味着两者之和

也在

中,由此凸性即得证明。
对任意大于1的实数

,它总可以写成

,其中

表示

的整数部分,由于

,所以

,并且

。这样,若



中,则由可加性,

也在

中,再由可分性,

也在

中,再次利用可加性,

也在

中,这就意味着该技术是规模报酬不变的。
11.对每个投入要求集,判定其是否满足正则性、单调性和/或凸性。假定参数



以及产出水平严格为正:
(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

For each input requirement setdetermine if it is regular, monotonic, and/or convex. Assume that theparameters

and

and the output levels are strictlypositive.
(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

答:正则性是指对所有

而言,

是一个非空的闭集。正则性意味着总存在某种可想到的方法来生产出任意给定水平的产出。
单调是说如果



中,并且

,那么,

也在

中。单调性意味着增加要素肯定不会降低产出的水平。
凸性是指如果



都在

中,那么,对所有介于0和1之间的

而言,

也在

中。
(a)投入要求集满足正则性,单调性以及凸性。
(b)投入要求集满足正则性,单调性以及凸性。
(c)投入要求集是正则性的。

的导数都是正的,所以技术是单调性的。由于等产量曲线凸向原点,所以生产函数是凹的是充分的(但不是必要的)。为了验证这点,用生产函数的二阶导数形成一个矩阵,并看它是否为负半定。海赛矩阵的第一个主子阵必有一个负的行列式,第二个主子阵必有一个非负的行列式。









所以投入要素集是凸性的。
(d)投入要求集满足正则性,单调性以及凸性。
(e)投入要求集不满足正则性,因为对任意大于1的产量,不存在把它生产出来的技术,但它满足单调性和凸性;
(f)投入要求集是正则性的。为了检验单调性,写下生产函数

, 生产函数求偏导数得到:

可见只有当

时,上式才为正,因而投入要素集并不总是单调的。
再来看

的海赛矩阵,其行列式为零,且第一个主子式为正。因此根据海赛矩阵无法判断

的凸性,但是对于投入要求集

可以判断其不是凸的,理由如下:

,对此式改写可得:

,对这个式子两边平方后可知这是一个椭圆方程,并且

是椭圆的外部区域在第一象限的部分,它不是凸的,即

不是凸的。
(7)这一函数是一线性与一里昂惕夫函数的连续运用,所以它具有这两种函数所拥有的所有性质,包括正则性、单调性和凸性。

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