公安边防消防警卫部队院校招生统考《数学》历年真题及模拟试题详解

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内容简介
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2015年公安边防消防警卫部队院校招生统考数学真题与详解
2014年公安边防消防警卫部队院校招生统考数学真题与详解
2013年公安边防消防警卫部队院校招生统考数学真题与详解
2012年公安边防消防警卫部队院校招生统考数学真题与详解
公安边防消防警卫部队院校招生统考《数学》模拟试题及详解（一）
公安边防消防警卫部队院校招生统考《数学》模拟试题及详解（二）
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内容预览
2015年公安边防消防警卫部队院校招生统考数学真题与详解
一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）
1．己知集合

则

＝（　　）．
A．

B．

C．

D．

【答案】B查看答案
【解析】

．
2.sin300°的值是（　　）．
A．

B．

C．

D．

【答案】D查看答案
【解析】

．
3．在某省公安系统搏击技能比赛中，甲、乙、丙三人获得前三名．甲说“我不是第三名”，乙说“我不是第一名”，丙说“我不是第二名也不是第三名”．若三人所说都是真的，则以下判断正确的是（　　）．
A．甲是第一名，乙是第二名，丙是第三名
B．甲是第三名，乙是第一名，丙是第二名
C．甲是第二名，乙是第三名，丙是第一名
D．甲是第三名，乙是第二名，丙是第一名
【答案】C查看答案
【解析】丙说“我不是第二名也不是第三名”，则丙为第一名，甲说“我不是第三名”，则甲为第二名，故乙是第三名．
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线

的两条渐近线方程是（　　）．
A．x±y＝0
B．x±y＝1
C．x＝±1
D．y＝±1
【答案】A查看答案
【解析】由

则得渐近线方程为x±y＝0．
5．在等差数列{an}中，若a3＝3，a7＝11，则a5的值为（　　）．
A．4
B．5
C．7
D．9
【答案】C查看答案
【解析】a3，a5，a7成等差数列，故

．
6．在平面直角坐标系xOy中，若

是圆的方程，则实数m的取值范围是（　　）．
A．（1，10）
B．（0，10）
C．（10，＋∞）
D．（－∞，10）
【答案】D查看答案
【解析】

，表示圆的条件是

则

得m＜10．
7．函数

的反函数为（　　）．
A．

B．

C．

D．

【答案】A查看答案
【解析】由

解出

，再将x，y互换，得

．
8．函数y＝sin2x图像的一条对称轴方程是（　　）．
A．

B．

C．

D．

【答案】C查看答案
【解析】正弦函数的对称轴过函数图象的顶点，依题意有

其中n取任意整数，则当n＝0时，可得

为一条对称轴．
9．设a＞0且a≠1，函数

的图像恒过定点P，则点P的坐标是（　　）．
A．（0，3）
B．（0，4）
C．（1，3）
D．（1，4）
【答案】B查看答案
【解析】a0＝1为恒等式，故

恒过点（0，4）．
10．己知函数

，则

的值为（　　）．
A．2
B．4
C．－2
D．－1
【答案】D查看答案
【解析】

，故

＝－1．
11．己知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个互不相同的平面，则下列命题中正确的是（　　）．
A．若m∥α，，n∥α，则m∥n
B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
【答案】D查看答案
【解析】A项，平行于同一个平面的两条直线不一定平行，此时存在多种情况；B项，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，这是线面垂直的性质；C项，一条直线平行于两个不同的平面，只需要这条直线平行于两平面的交线即可，与两平面的空间位置无关；D项，两直线垂直于同一平面，则这两条直线必定平行．
12．某连队有4名士兵报考军事院校，每人须从3所军事院校中选1所报考，且每所院校至少有1人报考，则不同的报考方式共有（　　）．
A．24种
B．36种
C．72种
D．81种
【答案】B查看答案
【解析】分析可知，有两名士兵报考同一所院校，从此4名士兵中选出两名作为一个整体，与剩下的两个士兵作为三个元素作全排列，

．
二、填空题
13．函数

的定义域为___________．
【答案】

【解析】

，即

．
14．己知△ABC的面积为

，AB＝2，A＝60°，则AC的长为________．
【答案】2查看答案
【解析】

，代入条件得AC＝2．
15．己知平面向量a＝（－1，4），b＝（t，－2），若a∥b，则实数t的值为_________．
【答案】

【解析】a∥b，则

得

．
16．设Sn是数列{an}的前n项和，且

，则S100的值为__________．
【答案】50查看答案
【解析】

．
17．设

，则

的值为_________（用数字作答）．
【答案】16查看答案
【解析】令x＝1，即得

．
18．如图1所示，在边长为2的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高．如果将三角形ABC沿AD折成60°的二面角B'-AD-C，那么三棱锥A-B'CD的体积为_________．

图1
【答案】

【解析】

，即得

．
三、解答题（共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本小题满分10分）
己知

其中α为第一象限角．
（1）求sin

的值；
（2）求

的值．
解：（1）因为

所以

（2）因为

从而tanα＝2，
故


20．（本小题满分12分）
如图2所示，在三棱锥P-ABC中，

，

AC＝1．
（1）求证：AC⊥平面PAB；
（2）求二面角A-PB-C的大小．

图2
证明：（1）因为PA⊥平面ABC，

，所以

又∠BAC＝90°，即AC⊥AB，

，
故AC⊥平面PAB．
（2）取PB的中点D，连接AD，CD，如图3所示．

图3
因为

且PA⊥AB，所以

且AD＝1．由条件知

从而CD⊥PB，因此∠ADC是二面角A-PB-C的平面角．由（1）知，△ACD为直角三角形，因为AC＝AD＝1，所以∠ADC＝45°．
因此二面角A-PB-C的大小为45°．
21．（本小题满分12分）
设函数

（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在闭区间[－2，5]上的最大值和最小值．
解：（1）当x≥2时，

当x＜2时，

所以函数f（x）在（－∞，－1]上单调递减，在[－1，＋∞）单调递增．
（2）由（1）知，f（x）在[－2，－1]上单调递减，在[－1，5]单调递增，
则f（x）在闭区间[－2，5]上的最小值为f（－1）＝－5．
又因为f（－2）＝－4，f（5）＝19，
则f（x）在闭区间[－2，5]上的最大值为f（5）＝19．
22．（本小题满分12分）
随着改革开放的不断深入和国际交流的不断发展，我国出入境人员的数量迅速增加．据对某边防口岸近年来出入境人员统计资料的分析，该口岸我国居民和外籍人员每年出入境的人次分别成等比数列和等差数列，己知我国居民和外籍人员第1年出入境分别为10万人次和2万人次，第3年分别为22.5万人次和4.5万人次．
（1）求该口岸第4年出入境人次；
（2）求该口岸前n年出入境人员总人次（结果用含n的代数式表示）．
解：（1）设an，bn分别表示该边防口岸我国居民和外籍人员第n年出入境的人次（单位：万人次），由题意知，数列

为等比数列，

为等差数列．
设q，d分别表示它们的公比和公差，则

由a1＝10，a3＝22.5，得

由b1＝2，b3＝4.5得

．所以

第4年出入境人次为

（2）设前n年出入境总人次为Sn，因为

所以

即该口岸前n年出入境总人次为


23．（本小题满分14分）
如图4所示，在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆

的离心率为

且上顶点为

设右焦点为F．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求过B，F两点且与右准线l相切的圆的方程；
（3）过F且与坐标轴不垂直的直线m与椭圆交于M，N两点，线段MN的中点为Q．记S为△OFQ的面积，求S的最大值及此时直线m的方程．

图4
解：（1）由题意，得

，且

，
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，
所以椭圆的标准方程为

（2）由（1）知，

又

所以线段BF的垂直平分线的方程为y＝x，故可设圆心坐标为（t，t），半径为r．
又因为右准线方程为

，从而

解得

或

，
所以圆的方程为

或

（3）设直线m的方程为

，将直线m的方程代入椭圆方程，得

则

可得

所以

当且仅当

时，等号成立．
故S取得最大值

，此时直线m的方程为


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