概率论基础知识

概率论基础知识
第一章 随机事件及其概率
一 随机事件
§1几个概念       
1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
   例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；
                   E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为 A，B，C……
   例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。
   例如，在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
   例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
   由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为e.
   例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
    例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为Ω。
    例如，
    在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}
    在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}
    在E3中，Ω={0，1，2，……}
例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。
     此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）
     若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为   (组合)
例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为
                         第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列
§2事件间的关系与运算
   1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为A  B或B  A。
例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}
        B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4， 6}则  

   2、相等：若A  B且B  A，则称事件A等于事件B，记为A=B
  例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。显然A=B

  3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为A  B，或A+B
  例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。
  推广：
有限个   
                        无穷可列个   
   4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为A  B或AB。
  例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则A  B={接到6的倍数次呼唤}
推广：
        任意有限个
                     无穷可列个
   5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。
  例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝

  6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。
  例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。

7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为  显然  ，A∩  =φ
  例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则  ={取得的3个产品均为正品}。

§3事件的运算规律
1、交换律   A∪B=B∪A；  A∩B=B∩A
2、结合律  （A∪B）∪C=A∪（B∪C） ；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
3、分配律  A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）， A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）
4、对偶律   
  此外，还有一些常用性质，如
   A∪ B  A，A∪B  B（越求和越大）；A∩B  A，A∩B  B（越求积越小）。
  若A  B，则A∪ B=B, A∩ B=A  A-B=A-AB= A    等等。
例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝
解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３       表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为
      或  
例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：
解：   
          A1A¬2A3={三次射击都击中目标}
  A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}
  
  
例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。
解，不难看出有如下一些关系：

二 事件的概率
§1概率的定义
所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。规定P(A)≥0，P（Ω）=1。
1、古典概型中概率的定义
古典概型：满足下列两条件的试验模型称为古典概型。
（1）所有基本事件是有限个；        （2）各基本事件发生的可能性相同；
例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。此试验样本空间为
Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）=  。
而P（B）=3P（A）=  
定义1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为NA，则事件A的概率便定义为：

例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。
解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间
Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。
可见NΩ=8 令A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）}
可见，令NA=3   故  
例2，（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。
（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；
（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；
（3）一次取球：从袋中任取3个球。在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。
解：（1）有放回取球 NΩ=8×8×8=83=512        (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)
（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况）
  （2）无放回取球         故  
  （3）一次取球                                  
                                                        故  

属于取球问题的一个实例：
        设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为
（属于一次取球模型）
例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。
解： 令A={恰有n个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数
先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列
故  
属于分球问题的一个实例：
全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令A={40个同学生日皆不相同}，则有
(可以认为有365个盒子，40个球)故  
例4（取数问题）
  从0，1，……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）  四个数排成一个偶数；（2）  四个数排成一个四位数；（3）  四个数排成一个四位偶数；
解：令A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数}
         
  ，
  ，
例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？
解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}

于是  
      ，故  
不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：
1°        P（A）≥0
2° P（Ω）=1
3° 若A1，A2，……，An两两互不相容，则  
2、概率的统计定义
频率：在n次重复试验中，设事件A出现了nA次，则称： 为事件A的频率。频率具有一定的稳定性。示例见下例表
试验者        抛硬币次数 n        正面（A）出现次数nA         正面（A）出现的
频率  

德•摩尔根        2048        1061        0．5180
浦丰        4040        2148        0．5069
皮尔逊        12000        6019        0．5016
皮尔逊        24000        12012        0．5005
维尼        30000        14994        0．4998
定义2：在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率fn(A)越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p
不难证明频率有以下基本性质：
1°                  2°  
3° 若A1，A2，……，两两互不相容，则  
3、概率的公理化定义 （数学定义）
定义3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件A定义一个实数P（A），如果它满足下列三条公理：
1° P（A） ≥0（非负性）        2° P（Ω）=1（规范性）
3° 若A1，A2，……，An……两两互不相容，则  （可列可加性，简称可加性）
则称P（A）为A的概率
4、几何定义
定义4：假设Ω是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集，则
P(A)==ū(A)/ ū(Ω)

§2概率的性质
性质1：若A  B, 则P(B-A)=P(B)-P(A)   ——差的概率等于概率之差
证：  因为：A  B
所以：B=A∪(B-A)且A∩(B-A)=φ,由概率可加性
得P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A）
即  P（B-A）=P（B）-P（A）
性质2：若A  B， 则P（A）≤P（B） ——概率的单调性
证：由性质1及概率的非负性得 0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即P（A）≤P（B）
性质3：P（A）≤1                 证明：由于A  Ω，由性质2及概率的规范性可得P（A）≤1
性质4：对任意事件A，P（  ）=1-P（A）
证明：在性质1中令B=Ω便有P（  ）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）
性质5：P（φ）=0        证：在性质4中，令A=Ω，便有P（φ）=P（  ）=1-P（Ω）=1-1=0
性质6 （加法公式）对任意事件A，B，有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）
证：由于A∪B=A∪（B-AB）且A∩（B-AB）=φ（见图）
由概率的可加性及性质1便得
             P（A∪B）=P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB）
     =P（A）+P（B）-P（AB）
推广:  P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
例6 设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。
解：令C={取出产品中至少有一个是次品}，则 ={取出产品中皆为正品}，于是由性质4得
例7，甲，乙两城市在某季节内下雨的概率分别为0.4和0.35，而同时下雨的概率为0.15，问在此季节内甲、乙两城市中至少有一个城市下雨的概率。
解：令A={甲城下雨}，B={乙城下雨}，按题意所要求的是
P（A∪B）=P（A）+P（B）—P（AB）=0.4+0.35-0.15=0.6
例8．设A,B,C为三个事件，已知P(A)=P(B)=P(C)=0.25,P(AB)=0,P(AC)=0,P(BC)=0.125,求A,B,C至少有一个发生的概率。

于是所求的概率为

三 条件概率
§1条件概率的概念及计算
在已知事件B发生条件下，事件A发生的概率称为事件A的条件概率，记为P（A/B）。条件概率P（A/B）与无条件概率P（A）通常是不相等的。
例1：某一工厂有职工500人，男女各一半，男女职工中非熟练工人分别为40人和10人，即该工厂职工人员结构如下：
人数        男        女        总和
非熟练工人                40        10        50
其他职工        210        240        450
总和        250        250        500
现从该厂中任选一职工，令A= {选出的职工为非熟练工人}，B= {选出的职工为女职工}
显然， ；而  
，
定义1  设A、B为两事件，如果P（B）>0，则称 为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率。同样,如果P（A）>0，则称 为在事件A发生条件下，事件B的条件概率。
条件概率的计算通常有两种办法：
(1)由条件概率的含义计算（通常适用于古典概型），        (2)由条件概率的定义计算。
例2：一盒子内有10只晶体管，其中4只是坏的，6只是好的，从中无放回地取二次晶管，每次取一只，当发现第一次取得的是好的晶体管时，向第二次取的也是好的晶体管的概率为多少？
    解：   令    A={第一次取的是好的晶体管}，B={第二次取的是好的晶体管}
按条件概率的含义立即可得：   
按条件概率的定义需先计算： ；于是

例3：某种集成电路使用到2000小时还能正常工作的概率为0.94,使用到3000小时还能正常工作的概率为0.87 .有一块集成电路已工作了2000小时,向它还能再工作1000小时的概率为多大?
解：令  A={集成电路能正常工作到2000小时}，B={集成电路能正常工作到3000小时}
已知:：P(A)=0.94,  P(B)=0.87 且  ，既有AB=B于是P(AB)=P(B)=0.87
按题意所要求的概率为：
§2关于条件概率的三个重要公式
1.乘法公式
定理1:  ，
例4:已知某产品的不合格品率为4%,而合格品中有75%的一级品,今从这批产品中任取一件,求取得的为一级的概率.
解: 令 A= {任取一件产品为一级品},  B= {任取一件产品为合格品}，显然  ，即有AB=A    故P（AB）=P（A）。于是,  所要求的概率便为
例5:为了防止意外,在矿内安装两个报警系统a和b,每个报警系统单独使用时,系统a有效的概率为0.92,系统b的有效概率为0.93,而在系统a失灵情况下,系统b有效的概率为0.85，试求：(1)当发生意外时,两个报警系统至少有一个有效的概率；(2)在系统b失灵情况下,系统a有效的概率.
解:  令   A={系统a有效}  B={系统b 有效}
已知  ,  ,  
对问题(1) ,所要求的概率为
          ，其中       (见图)
=   =   
于是  
对问题(2),所要求的概率为： =  
推广：如果
      

证:由于   
所以上面等式右边的诸条件概率均存在,且由乘法公式可得

=  
=    ……  （依此类推）=  
例6：10个考签中有4个难签,三个人参加抽签(无放回)甲先,乙次,丙最后,试问(1)    甲、乙、丙均抽得难签的概率为多少? (2)    甲、乙、丙抽得难签的概率各为多少?
解:  令A,B,C分别表示甲、乙、丙抽得难签的事件，
对问题(1),所求的概率为：
对问题(2), 甲抽得难签的概率为：
乙抽得难签的概率为
丙抽得难签的概率为   
     其中  
     
     于是   
2.全概率公式
完备事件组:如果一组事件  在每次试验中必发生且仅发生一个,
即   则称此事件组为该试验的一个完备事件组
例如，在掷一颗骰子的试验中，以下事件组均为完备事件组：① {1}，{2}， {3}，{4}，{5}，{6}； ② {1，2，3}，{4，5 }， {6}； ③ Ａ ， （A为试验中任意一事件）
定理2： 设  为一完备事件组，且  ，则对于任意事件A有  
证：由于  且对于任意  
   ，于是由概率的可加性及乘法公式便得：
例7，某届世界女排锦标赛半决赛的对阵如下：
根据以往资料可知，中国胜美国的概率为0.4 ，中国胜日本的概率为0.9，而日本胜美国的概率为0.5，求中国得冠军的概率。
解：令H= {日本胜美国},  ={美国胜日本}, A= {中国得冠军}
由全概率公式便得所求的概率为

例8， 盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时，从盒中任取3个使用，用后放会盒中，第二次比赛时，再取3个使用，求第二次取出都是新球的概率
解： 令  H  ={第一次比赛时取出的3个球中有i个新球}i=0，1，2，3，A = {第二次比赛取出的3个球均为新球}
于是  ,  ,  ,  
而  ,  ,  ,  
由全概率公式便可得所求的概率
  =0.146
3 贝叶斯公式
定理3： 设 H  ,H  ,…….H  为一完备事件组，且                                      又设A为任意事件，且 P(A) >0，则有
证：由乘法公式和全概率公式即可得到
例9：某种诊断癌症的实验有如下效果：患有癌症者做此实验反映为阳性的概率为0.95，不患有癌症者做此实验反映为阴的概率也为0.95，并假定就诊者中有0.005的人患有癌症。已知某人做此实验反应为阳性，问他是一个癌症患者的概率是多少？
解：  令 H={做实验的人为癌症患者}， ={做实验的人不为癌症患者}，A={实验结果反应为阳性}，{实验结果反应为阴性}，由贝叶斯公式可求得所要求的概率：

例10：两信息分别编码为X和Y传送出去，接收站接收时，X被误收作为Y的概率0.02,而Y被误作为X的概率为0.01.信息X与Y传送的频繁程度之比为2:1,若接收站收到的信息为X，问原发信息也是X的概率为多少?
解：设H={原发信息为X}

由题意可知   
由贝叶斯公式便可求得所要求的概率为  
例11：设有一箱产品是由三家工厂生产的，已知其中  的产品是由甲厂生产的，乙、丙两厂的产品各占  ，已知甲，乙两厂的次品率为2%，丙厂的次品率为4%，现从箱中任取一产品（1）       求所取得产品是甲厂生产的次品的概率；（2）       求所取得产品是次品的概率；（3）       已知所取得产品是次品，问他是由甲厂生产的概率是多少？
解：令  分别表示所取得的产品是属于甲、乙、丙厂的事件，A={所取得的产品为次品}
显然      ，  ，  ，  
对问题（1），由乘法公式可得所要求的概率：
对问题（2），由全概率公式可得所要求的概率
           
对问题（3），由贝叶斯公式可得所要求的概率

四 独立性
§1事件的独立性
如果事件B的发生不影响事件A的概率，即  则称事件A对事件B独立。
如果事件A的发生不影响事件B的概率，即  ，  则称事件B对事件A独立。
不难证明，当  时，上述两个式子是等价的。
事实上，如果  ，则有
反之，如果  ，则有
即      
同样可证  


总之  ，可见事件独立性是相互的。
定义1  设A，B为两个事件，如果  ，则称事件A与事件B相互独立。
例1,袋中有3个白球2个黑球，现从袋中（1）有放回；（2）无放回的取两次球，每次取一球，令
        A={第一次取出的是白球}  B={第二次取出的是白球}  问A，B是否独立？
解：（1）有放回取球情况，则有
可见，  ，可见A，B独立。
（2）无放回取球情况，则有
可见，  ，故A，B不独立。（实际上就是抓阄模型）

例2,设有两元件，按串联和并联方式构成两个系统Ⅰ，Ⅱ（见图）每个元件的可靠性(即元件正常工作的概率)为r(0<r<1).假定两元件工作彼此独立,求两系统的可靠性.
解: 令  A= {元件a 正常工作}  ,  B= { 元件b 正常工作} ,且A,B独立。C1= {系统I正常工作 },   C2={系统II正常工作}
于是系统I的可靠性为
系统II的可靠性为   
显然   ，系统Ⅱ可靠性大于系统Ⅰ的可靠性。
定义：设A，B，C为三个事件，如果 P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），
P（BC）=P（B）P（C），P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 则称A，B，C为相互独立的。
定义2：设A1，A2，……An为n个事件，如果对任意正整数  及上述事件中的任意 P 则称这n个事件A1，A2……，An是相互独立的。
下面几个结论是常用的 ：
其它三个必成立。

证：设A，B成立，即  ，
于是有  
故  独立。利用这个结果便可证明其它结论，即
（2）如果 相互独立，则


(3) 如果 相互独立，则

　证：  
例3：三人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为  　求密码能被译出的概率
　解：令　Ai＝｛第  个人能译出密码｝，I=1,2,3 ；A={密码能被译出}，所要求的概率为

例4：设每支步枪击中飞机的概率为   ，(1)现有250支步枪同时射击，求飞机被击中的概率;
(2)若要以  概率击中飞机，问需多少支步枪同时射击？
解：　令Ai=｛第i支步枪击中飞机｝　  1,2,……,n；A={飞机被击中}
对问题（1），n=250,所要求的概率为

对问题（2），n为所需的步数，按题意 ,　
即  , 即          于是得  
§2独立重复试验
独立重复试验 在相同条件下，将某试验重复进行n 次，且每次试验中任何一事件的概率不受其它次试验结果的影响，此种试验称为n次独立重复试验。
       称此试验为贝努里试验
n重贝努里试验 将贝努里试验独立重得n次所构成n次独立重得试验称为n重贝努里试验。
例如，
（1）将一骰子掷10次观察出现6点的次数——10重贝努里试验
（2）在装有8个正品，2个次品的箱子中，有放回地取5次产品，每次取一个，观察取得次品的次数
        ——5重贝努里试验
（3）向目标独立地射击n次，每次击中目标的概率为P，观察击中目标的次数—n重贝努里试验等等
一个重要的结果：在n重贝努里实验中，假定每次实验事件A出现的概率为p（0<p<1）,则在这n重贝努里实验中事件A恰好出现k(k≦n)次的概率为 其中q=1-p


                因此，在n次独立重复试验中事件A恰好出现k次的事件便可表为 上式为在n次试验中恰有k次A出现，而在另外n-k次A不出现的所有可能事件之和，这 及事件的独立性便可得到在n重贝努里试验中事件A恰好出现k次的概率为

例5：设电灯泡的耐用时数在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用了1000小时之后：（1）  恰有一个灯泡损坏的概率；（2）       至多有一个灯泡损坏的概率。
解：在某一时刻观察三个灯泡损坏情况为3重贝努里实验。令 A={灯泡是坏的}，则p=P(A)=0.8
若令Bi={有i个灯泡损坏}，i=0，1 2 3；对于问题（1），所求的概率为
对于问题（2），所求的概率为   
例6：某工厂生产某种产品，其次品率为0.01  ，该厂以每10个产品为一包出售，并保证若包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品与被退的比例多大
        解：卖出产品被退回的比例也即卖出一包产品被退回的概率，观测一包内次品（即事件A，p=P(A)=0.01）数的实验可视为10重贝努里实验。令 则           令C={卖出一包被退回}，则

        如果厂方以20个产品为一包出售，并保证包内多于2个次品便可退货，情况又将如何呢？
完全类似可算得

第二章 随机变量及其分布函数
一 随机变量及其分布函数
§1随机变量的概念
为了对各种各样不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等数学工具引进概率论。我们需引入随机变量的概念。
随机变量：设试验的样本空间为Ω，在Ω上定义一个单值实函数X=X(e),e∈Ω,对试验的每个结果e,Ｘ＝Ｘ(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，那Ｘ＝Ｘ（e）的取值也是随机的，我们便称此定义在样本空间  上的单值实函数Ｘ＝Ｘ（e）为一个随机变量。
引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随机变量取某个值或在某范围内取值来表示了。（见图）
通俗讲，随机变量就是依照试验结果而取值的变量。
例1 向靶子（见图）射击一次，观察其得分，规定
击中区域Ⅰ得２分
击中区域Ⅱ得１分
击中区域Ⅲ得０分
样本空间Ω＝｛Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ｝。定义随机变量X表示射击一次的得分
即　　　　　　
于是，
　　　  
例2 观察某电话交换台，在时间Ｔ内接到的呼唤次数。 样本空间Ω＝｛０，１，２，……｝。可定义随机变量Ｘ就表示在时间Ｔ内接到的呼唤次数。于是，
Ａ＝｛接到呼唤次数不超过１０次｝＝｛Ｘ≤１０｝
Ｂ＝｛接到呼唤次数介于５至１０次之间｝＝｛５≤Ｘ≤１０｝ ,,
例3 从一批灯泡中任取一个灯泡作寿命试验。观察所测灯泡的寿命（单位：小时） 样本空间Ω＝［０，＋∞］。可定义随机变量Ｘ表示所测得灯泡的寿命于是，
Ａ＝｛测得灯泡寿命大于５００（小时）｝＝｛Ｘ>500｝
Ｂ＝｛测得灯泡寿命不超过５０００（小时）｝＝｛Ｘ≤５０００｝。
                                                        不具明显数量性质的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。
例4将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。 试验的样本空间Ω＝｛Ｈ，Ｔ｝，Ｈ－正面，Ｔ－反面。 可定义随机变量Ｘ表示上抛１次硬币正面出现的次数，即
　　　　
于是，Ａ＝｛出现正面｝＝｛Ｘ＝１｝。 用随机变量表示事件常见形式有



等等（这里X为随机变量，χ，χ1，χ2等为实数）
§2分布函数
定义  设X为随机变量，对任意实数χ，则称函数 F（χ）=P{X≤χ} 为随机变量X的分布函数。
例1  机房内有两台设备，令X表示某时间内发生故障的设备数，并知P{X=0}=0.5， P{X=1}=0.3，P{X=2}=0.2，求X的分布函数F（χ）。
解：由于X的可能取值为0，1，2故应分情况讨论：
（1）       当χ<0时，F（χ）=P{X≤χ}=0
（2）       当0≤χ<1时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}=0.5
（3）       当1≤χ<2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}=0.5+0.3=0.8
（4）       当χ≥2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.5+0.3+0.2=1
总之，   
例2 向一半径为2米的圆形靶子射击，假设击中靶上任何一同心圆的概率为该同心圆的面积成正比，且每次射击必中靶。令X表示弹着点到靶心距离，求X的分布函数F（χ）。
                                                                                                                                       
解： 当χ<0时，F（χ）=P{X≤χ}=0
当0≤χ≤2时，F（χ）=P{X≤χ}=P{击中半径为χ的同心圆}=λπχ2
特别，当χ=2时，1=F{2}=λπ4，解得λ=1/4π，代入上式便得
                                                       当χ>2时，F（χ）=P{X≤χ}=1
  
性质   1。F（χ）是单调不减的，即对任意χ1<χ2，有 F（χ1）≤F（χ2）；
2。0≤F（χ）≤1且F（-∞）=0，F（+∞）=1；
           3。F（χ）为右连续的，即对任意χ，有F（χ+0）= F（χ）。  
可以证明（略）以上三条性质是分布函数所具有的三条基本共同特性。
利用分布函数可求随机变量落在某些区间上的概率，如


等等。
例3在前面打靶的例子中，已知X表示弹着点到靶心距离，并求得其分布函数为
  
于是便可以利用此分布函数，求出击中靶上环形区域（见图）的概率
         
随机变量分类：
         
二 离散型随机变量及其分布律
§1离散型随机变量及其分布律的概念
定义：如果随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称随机变量X为离散型随机变量。
X        χ1        χ2        ……        χn        ……
p         

……         
……
设X的所有可能取值为χ1，χ2，……χn，……，则称下列一组概率 P{X=χi}=ρi，i=1,2,……，n,…… 为X的分布律。分布律也常常写成表格形式
性质：   1。pi≥0,一切I； 2。  
例1 设袋中装着分别标有-1，2，2，2，3，3数字的六个球，现从袋中任取一球，令X表示取得球上所标的数字，求X的分布律。
X        -1        2        3
p        1/6        1/2        1/3
解：  X的可能取值为-1，2，3，且容易求得  故X的分布律为
例：相同条件下，独立的向目标射击4次，设每次击中目标的概率为0.8，求击中目标次数X的分布律
   解：   X的可能取值为0，1，2，3，4利用二项概率公式便可求得
         
X        0        1        2        3        4
p        0.0016        0.0256        0.1536        0.4096        0.4096




X的分布律为



例2 社会上定期发行某种奖券，每券一元，中奖率为p，某人每次买1张奖券，如果没有中奖便继续买一张，直到中奖为止。求该人购买奖券次数X的分布律。如果中奖率为1%，问他至少应买多少张奖券才能以不少于99%的概率中奖。
解：（1） 令Ai={第i次购买的奖券中奖}，i=1,2,……

X的分布律为
X        1        2        3        ……        i        ……
p        p        (1-p)p        (1-p)2p        ……        （1-p）i-1p        ……
（2）设n为所需购买的奖券数，按题意P{X≤n}≥99%
即  
                                                        即
  
例4 某产品40件，其中有次品3件，现从中任取3件，（1）求取出的3件产品中所含次品数X的分布律；（2）求取出产品中至少有一件次品的概率；（3）求出X的分布函数F（x），并作其图形。
解：（1）X的可能取值为0，1，2，3，且有
  

                                        于是X的分布律为
X        0        1        2        3
P        0.7865        0.2022        0.0112        0.0001

（2）任取3件产品中至少含有一件次品的概率为
P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135或   P{X≥1}=1－P{X＜1＝1－P{X=0}=1－0.7865=0.2135
（3）由分布函数定义不难求得X的分布函数为



离散型随机变量其分布函数的图形有如下特点：
(1)阶梯形；（2）仅在其可能取值处有跳跃；（3）其跃度为此随机变量在该处取值的概率。
一般，若X的分布律为P{X=χi }=pi ,i=1,2,……，则X落在区间I内的概率便为   
从而，X的分布函数与分布律的关系便为  
X        0        1
p        q        p
§2几个重要分布
1.两点分布 如果随机变量X的分布律为
其中0<p<1,q=1-p则称X服从参数为p的(0－1)两点分布,简称为两点分布,记为X~B(1,p)
        实际背景:在贝努里实验中,设事件A的概率为p(0<p<1) 如果所定义的随机变量X表示A发生的次数，即
X        0        1        q=1-p
p        q        p       
显然X的分布律为  即 X~B(1,p)
例5 .一批产品的废品率为5%，从中任取一个进行检查，若令X表示抽得废品的数目，即
X        0        1
p        95%        5%
                     则X~B(1,5%)即X的分布律为
2.二项分布 如果随机变量X的分布律为 其中0＜p＜1, q=1－p,则称X服从参数为（n,p）的二项分布，记为X~B（n,p）
        实际背景：由第一章，独立重复实验一段中可知，在n重贝努里实验中，如果每次实验事件A出现的概率为p(0<p<1) ,则在n次独立重复实验中A恰好出现k(≤n)次的概率为
        于是，在此n 重贝努里实验中，如果定义随机变量X表示事件A出现的次数，
则有  即X~B(n,p)
例6 某工厂每天用水量保持正常的概率为  ，求最近6天内用水量正常天数X的分布律，并求用水量正常天数不少于5天的概率。解：由二项分布实际背景可知X~B（6，  ），于是      


                                        即X的分布律为
X        0        1        2        3        4        5        6
P        0.0002        0.0044        0.0330        0.1318        0.2966        0.3560        0.1780
用水量正常天数不少于5天的概率为

例7 一批产品的废品率为0.03，进行20次独立重复抽样，求出现废品的频率为0.1的概率。
解：令X表示20次独立重复抽样中出现的废品数.      X~B（20，0.03）        （注意：不能用X表示频率，若X表示频率，则它就不服从二项分布）所求的概率为       

泊松定理  如果  ,   则有   
近似公式：设n充分大, p足够小(一般n≥10,p≤0.1)时, 有   
例8:利用近似公式计算前例中的概率.
解:
例9:有20台同类设备由一人负责维修,各台设备发生故障的概率为0.01,且各台设备工作是独立的,试求设备发生故障而不能及时维修的概率.若由3人共同维修80台设备情况又如何?
解:  (1) 1人维修20台设备.        令X表示某时刻发生故障的设备数.  X~B(20,0.01)        于是,发生故障而不能及时维修的概率为

(2)3人维修80台设备                假设X表示某时刻发生故障的设备数，X~B（80，0.01）于是，发生故障而不能及时维修的概率为

3.泊松分布 如果随机变量X的分布律为  其中λ＞0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~π(λ) 或者X~P(λ)
实际背景：满足下列条件的随机质点流（一串重复出现的事件）称为泊松流。 （1）在时间  内流过质点数的概率仅与  有关，与t无关； (2)不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立； (3)在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过2个或2个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。
例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数；单位时间内某电话交换台接到的呼唤次数； 单位时间内走进商店的顾客数等等；均可认为它们服从泊松分布。
例10：设  且已知P{X=1}=P{X=2}，求P{X=4}
解：由于  ，即X的分布律为  于是有      由条件   P{X=1}=P{X=2} 可得方程  即      即        解得 λ=2，0（弃去）
所以   于是  
例11：设电话交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数λ=3的泊松分布。（1）求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；（2）若一分钟内一次呼唤需要占用一条线路。求该交换台至少要设置多少条线路才能以不低于90%的概率使用户得到及时服务。
解：（1）  ，其分布律为    于是，在一分钟内接到超过7次呼唤的概率为
（2）设所需设备的线路为K条，按题意应有
         P{X≤K}≥90% 即 P{X≤K}=1-P{X＞K}=1-P{X≥K+1}≥0.9  即 P{X≥K+1}≤0.1
查表得   P{X≥6}=0.0839 而P{X≥5}=0.1847 ,故应取 K+1=6，即 K=5 所以，至少要设置5条线路才能符合要求。

三 连续型随机变量及其概率密度
§1连续型随机变量及其概率密度的概念
所谓连续型随机变量是指此随机变量的可能取值至少应充满某个区间且其分布函数应当是连续的，连续型随机变量X有以下特点：
(1)        对任意实数x，    事实上， ；
(2)            
下面建立连续型随机变量X在实数x处的概率密度（概念的引入）
首先，考虑X落在区间  内的概率
其次，求出X落在区间  内的平均概率密度
最后，令  便得到X在x处的概率密度
令  ，从而便有  
1.定义 设  为随机变量X的分布函数，如果存在非负函数  使得对任意实数x,有
     ，则称X为连续型随机变量，  为X的概率密度。
                性质  一切x；                                
事实上由于  ，
2.一个重要结果  
事实上，
      

3.几何解释
（1）  ，表明密度曲线  在x轴上方；
（2）  表明密度曲线  与x轴所夹图形的面积为1；
（3）  表明X落在区间（a,b）内的概率等于以区间（a,b）为底，以密度曲线  为顶的曲边梯形面积。
4.关系：  
例1：已知连续型随机变量X的概率密度为求系数k及分布函数F（χ），并计算概率P{1.5<X<2.5}
解: (1)          解得k =-1/2.
于是X的概率密度为  
（2）当  
当  时，
当  时，  
        总之，  
（3）  
例2.一种电子管的使用寿命为X小时，其概率密度为 某仪器内装有三个这样电子管，试求使用150小时内只有一个电子管需要换的概率。
解：首先计算一个电子管使用寿命不超过150小时的概率，此概率为

令Y表示工作150小时内损坏的电子管数，则          Y服从二项分布
于是，此仪器工作150小时内仅需要更换一个电子管的概率
§2几个重要分布
1．  均匀分布        如果随机变量X的概率密度为 则称X在区间[a,b ]上服从均匀分布，记为X~U[a,b]；其分布函数为
实际背景：如果实验中所定义的随机变量X仅在一个有限区间[a,b]上取值，且在其内取值具有“等可能”性，则X~U[a,b]。
例2.某公共汽车从上午7:00起每隔15分钟有一趟班车经过某车站,即7:00,7:15,7:30,…时刻有班车到达此车站,如果某乘客是在7:00至7:30等可能地到达此车站候车,问他等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率。
解：设乘客于7点过X分钟到达车站，则X~U[0,30],即其概率密度为
于是该乘客等候不超过5分钟便能乘上汽车的概率为
   
   

2．指数分布        如果随机变量X的概率密度为 其中  ，则称X服从参数为λ的指数分布，记为X~E(λ)，其分布函数为
实际背景：在实践中，如果随机变量X表示某一随机事件发生所需等待的时间，则一般X~E(λ)。
例如，某电子元件直到损坏所需的时间（即寿命）；随机服务系统中的服务时间；在某邮局等候服务的等候时间等等均可认为是服从指数分布。
例3.设随机变量X服从参数为λ=0.015的指数分布， （1）       求  ；（2）       若要使  问x应当在哪个范围内？
解：由于X~E(0.015)即其概率密度为   
于是，（1）
         （2）要使  即  
取对数，便得                    于是便解得      
3.正态分布（高斯分布）
△如果随机变量X的概率密度为 其中  为常数，则称X服从参数  的正态分布，记为X~N  。
△实际背景：在实践中，如果随机变量X表示许许多多均匀微小随机因素的总效应，则它通常将近似地服从正态分布，如：测量产生的误差；弹着点的位置；噪声电压；产品的尺寸等等均可认为近似地服从正态分布。
△正态密度曲线： 参数  对密度曲线的影响
(1) 当  不变  改变时，密度曲线  形状不变，但位置要沿x轴方向左，右平移。（ 实际上就是落在曲边梯形内部的平均概率）
(2)当μ不变  改变时，  变大，曲线变平坦；  变小，曲线变尖窄
△分布函数：  （积分是存在的，但是不能用初等函数表示）
△标准正态分布： 称  的正态分布N(0,1)为标准正态分布，其概率密度为 ；分布函数为 （其值有表可查）
公式   
证：   
例5.设X~ N(0,1) 求  
解：
   
例6.设X~N(0,1),要使  问λ应为何值？
解：由于  
即  反查表，便得  
6.一般正态分布与标准分布的关系：        
若  ）,其分布函数为F(X)，则有  
证：  
      =  
7.正态变量落在区间内的概率：
如果      则  
事实上，由      立即可得
例7. 设      试求  
解：   
  
例8  从某地乘车前往火车站搭火车，有两条路可走（1）走市区路程短，但交通拥挤，所需时间   ，(2)走郊区路程长，但意外阻塞少，所需时间    。 问若有70分钟可用，应走哪条路线？
解：走市区及时赶上火车的概率为

走郊区及时赶上火车的概率为         ；故应走郊区路线。
        如果还有65分钟可用情况又如何呢？
        同样计算，走市区及时赶上火车的概率为         
        而走郊区及时赶上火车的概率便为         
        此时便应改走市区路线。

四 随机变量函数的分布
§1离散型随机变量的情况
        所谓随机变量X的函数 是指Y也是一个随机变量，且每当X取值为χ时， Y的取值便为
例如，车床车轴，若令X表示车出轴的直径，Y表示车出轴的横断面积，则   
问题：已知X的分布，求 的分布。
X        -1        0        1        2        5/2
P        2/10        1/10        1/10        3/10        3/10
例 1 设离散型随机变量X的分布律为
求（1）Y=X-1，（2） 的分布律
解：（1）由随机变量函数的概念便可由X的可能值求出Y的可能值，见下表：
Y=X-1        -2        -1        0        1        3/2
X        -1        0        1        2        5/2
P        2/10        1/10        1/10        3/10        3/10
Y=X-1        -2        -1        0        1        3/2
P        2/10        1/10        1/10        3/10        3/10
           于是便得Y的分布律
  （2）Y=-2X2的可能值由下表给出
Y=-2X2        -2        0        -2        -8        -25/2
X        -1        0        1        2        5/2
P        2/10        1/10        1/10        3/10        3/10
由于Y的值有相同的，即-2 ，因此应将其合并，相应的概率应按概率的可加性进行相加，即
Y=-2X2        -25/2        -8        -2        0
P        3/10        3/10        3/10        1/10

最后，得 Y的分布律为



§2连续型随机变量的情况
“分布函数法”——先求Y=g(x)的分布函数，然后再求导便可得到Y的概率密度
例 2 设随机变量X的概率密度为  ，试求X的线性函数  [  为常数] 的概率密度  
解：Y的分布函数                 （分布函数的定义）
当  时
                                                                                于是        （注意复合函数求导）
当  时，
于是，  
以上  两种情况所得结果可以合并为如下形式         
特别，当  时，则运用上述结果便可得线性变换  的概率密度为                           
此结果证明：正态分布的随机变量经线性变换后，仍是服从正态分布的随机变量
特别，取  代入上面结果便得Y的
分布为  
即Y~N(0,1)     称  为标准化变换
例 3 证X~N(0,1),求  的概率密度                  （非线性）
解：Y的分布函数                 
当y>0时，          于是

当    从而  
总之   
例5设电流I为随机变量，它在9（安培）~11（安培）之间均匀分布，若此电流通过2欧姆电阻，  求在此电阻上消耗功率  的概率密度
解：W的分布函数为         
        两边求导，便得W的概率密度

当     因为I~U[9,11],即其概率密度  
所以  ，  故


第三章 二维随机变量及其分布
一、 二维随机变量及其联合分布
   设Ω为某实验的样本空间，X和Y是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y）为二维随机变量。
比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数
定义1：设（X，Y）为二维随机变量，对任意实数χ，y，称二元函数F（χ,y）=P{X≤χ,Y≤y}为（X，Y）的分布函数或称为X与Y的联合分布函数。 几何上，F（χ，y）表示（X，Y）落在平面直角坐标系中以（χ,y）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图）                         y                （x,y）
二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x,y）具有以下四条基本性质： 0                        x
1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1) ≤F(x,y2).
2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1
3° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F（x+0,y）= F（x,y）, F（x,y+0）= F（x,y）
4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0
事实上，由图可见(见右图)
    F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)
   
例1设（X，Y）的分布函数为
解：由性质4°可得
   
     

§3.1.2联合分布律
定义2：如果二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量
        设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……，则称下列一组概率 P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 的联合分布律,用表格表示:
X  Y         y 1         y 2         ……         yj         ……
χ1         p11         p12         ……         p1j         ……
χ2         p21         p22         ……         p2j         ……
┆         ┆         ┆         ……         ┆         ……
χi         pi1         pi2         ……         pij         ……
┆         ┆         ┆         ……         ┆         ……
性质  1. pij≥0,一切i,j,
          2.                           显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为
                由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为
例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数 。试求（X，Y）的分布律，并分别求投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒内信件数相同及至少有一封信投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒的概率。
解：



                                                                                        总之，（X，Y）的分布律为
X    Y         0         1         2
0         4/16         4/16         1/16
1         4/16         2/16         0
2         1/16         0         0
投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒内邮件数相等的概率为
至少有一封信投入Ⅰ，Ⅱ号邮筒的概率为
P{X≥1或Y≥1}=1-P{X<1且Y<1}=1-P{X=0,Y=0}=1-P11=1 - 4/16=3/4



§3.1.3联合概率密度
定义3：设F（χ，у）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，如果存在非负函数ƒ(χ，у)使得对任意实数χ，у有，                                                         则称（X，Y）为二维连续型随机变量，ƒ（χ，у）为（X，Y）的概率密度或称为X与Y的联合概率密度。
性质：  1。  ƒ（χ，у）≥0  一切χ，у
        2。   
一个重要结果：
几何解释：（见图）
（1）ƒ（χ，у）≥0表明密度曲面z= ƒ（χ，у）应在χOу坐标面的上方;
（2）                                               表明密度曲面z= ƒ（χ，у）与χOу坐标面所围成图形的体积为1
表明（X，Y）落在平面区域D内的概率等以D为底，以密度曲面z= ƒ（χ，у）为顶的曲顶柱体的体积
概率密度与分布函数关系为：
；   
例3.设（X，Y）的概率密度为                               （1）求常数A；（2）求概率P{X+Y≥1}
解：（1）由于

即得（X，Y）的概率密度为
（2）





二 边缘分布
§3.2.1边缘分布函数
设（X，Y）的分布函数为F（χ，у），X和Y的分布函数分别为FX（χ）， FY（у），于是                                                                                                                                    同样有

称FX（χ）=F（χ，+∞）为二维随机变量（X，Y），关于X的边缘分布函数； 称FY（у）=F（+∞，у）为二维随机变量（X，Y），关于Y的边缘分布函数。
例4.设（X，Y）的分布函数为                                                                                 求关于X和Y的边缘分布函数
解：关于X的分布函数

                                同理可得关于Y的边缘分布函数
§3.2.2边缘分布律
        设（X，Y）的分布律为P{X=χi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，可以证明X的分布律可以由X和Y的联合分布律求得：
事实上，由于{Y<+∞}为必然事件，于是
                                                                                                同样，Y的分布律也可以由联合分布律求得：



用表格求边缘分布律只要在联合分布律表上加一行一列，然后分别按行按列相加即可
X  Y         y 1         y 2         ……         yj         ……          

χ1         p11         p12         ……         p1j         ……          

χ2         p21         p22         ……         p2j         ……         p2.
┆         ┆         ┆                   ┆                   ┆
χi         pi1         pi2         ……         pij         ……          

┆         ┆         ┆                   ┆                   ┆

p.1         p.2         ……         ┆  
……         1

例5：袋中有2个白球3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地取二次球，每次取一个，令

求（X，Y）的分布律及边缘分布律。

解：（1）有放回的取球
X     Y         0         1          

0         9/25         6/25         3/5
1         6/25         4/25         2/5

3/5         2/5         1
于是得关于X的边缘分布律为
X         0         1
p         3/5         2/5
关于Y的边缘分布律
Y         0         1
p         3/5         2/5
(2)无放回取球
X      Y         0         1           

0         6/20         6/20         3/5
1         6/20         2/20         2/5

3/5         2/5         1
于是得关于X的边缘分布律为
X         0         1
p         3/5         2/5
关于Y的边缘分布律
Y         0         1
p         3/5         2/5

问题：由联合可以求边缘，但是由边缘能否求出联合呢？不能！！！
3.2.3边缘概率密度
设（X，Y）的概率密度为ƒ（χ，у），可以证明X的概率密度ƒX（χ）可以 由ƒ（χ，у）确定，  。
事实上，由于X的分布函数
同样，Y的概率密度也可由ƒ（χ，у）确定  
称ƒX（χ）为二维随机变量（X，Y）关于X的边缘概率密度。
称ƒY（y）为二维随机变量（X，Y）关于Y的边缘概率密度。
例6 设区域D是由直线у=χ和曲线у=χ2所围成（见图）。设（X，Y）在D上 服从均匀分布，即其概率密度为                                                                         其中SD为D的面积，试求（X，Y）的边缘概率密度。
解：

                                                                                                                         ；当χ≤0或χ≥1时ƒX（χ）=0
总之，关于X的边缘概率密度为
， 当y≤0或y≥2时，ƒY（y）=0
总之，关于Y的边缘概率密度为


例7 设（X，Y）服从二维正态分布N（μ1，μ2，  ，  ，ρ),即（X，Y）的概率密度为

        其中μ1，μ2，  （σ1>0），  （σ2>0）,ρ(-1<ρ<1)为常数。 试求边缘概率密度。


解：  

   
  
  




同样，关于Y的边缘概率密度为
   
三 随机变量的独立性
3.3.1独立性的概念
定义1：设（X，Y）的分布函数为F（X，Y），边缘分布函数为  和  ，如果对一切X, Y有，  则称X与Y是相互独立的。
3.3.2独立性的充要条件
⒈        离散型随机变量的情况
定理 1：设（X，Y）的分布律为  ,边缘分布律分别为   ，及   ，则X与 Y相互独立的充分必要条件为  , 一切  .   证略。
例8. 袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地 取二次球，每次取一个，令
                                                                                                                       试问X与Y是否相互独立？
解：⑴ 有放回地取球
   Y     
X            0            1           
容易验证，对一切  有 故X，Y相互独立
　
0         9/25         6/25          3/5          
1         6/25         4/25         2/5        

3/5        2/5        1       
  ⑵ 无放回地取球
   Y     
X            0            1           
可见，
故X，Y不独立
　
0         6/20         6/20          3/5          
1         6/20         2/20         2/5        

3/5        2/5        1       
(X,Y)        (1,1)        (1,2)        (1,3)        (2,1)        (2,2)        (2,3)
P        1/6        1/9        1/18        a        b        c
例9：设（X，Y）的分布律为
问a,b,c为何值时，X与Y相互独立？
解：（X，Y）的分布律及边缘分布律可由下表给出：   

Y
X        1        2        3         

1        1/6        1/9        1/18        1/3
2        a        b        c        a+b+c




1

需使X与Y相互独立，下列式子应满足：
   
⒉ 连续性随机变量的情况
定理2  设（X，Y）的概率密度为  ，其边缘概率密度为   和  ，刚X与Y相互独立的充分必要条件为  ,一切x,y . 证略
例10 设X，Y相互独立，同分布，均服从  分布，试求  
解：由于X，Y均在[0,1]上服从均匀分布，即
X的概率密度为  ，Y的概率密度为   
又由X与Y相互独立，所以（X，Y）的概率密度为      
于是                                                           其中


例11 设（X，Y）～  ，证明：Ｘ与Ｙ相互独立的充要条件为  
证：由于  
已求得其边缘概率密度为
“充分性”，当  时，对一切x,y有                                                                          故X与Y相互独立。
“必要性”，如果X，Y独立，于是应有  
即为                                                                                                  解得  
四 条件分布
§3.4.1条件分布函数
          在实践中常会遇到这样的问题：在已知随机变量Y取值为y条件下，求随机变量X落在某区间（a，b）内的概率，即P{a<X≤b∣Y=y}由于形式上这一条件概率可表为
   
        因此，对任意实数x，研究形如P{X≤x∣Y=y}的条件概率就是一件很重要的事情。然而，需注意的是：如果P{Y=y}=0,上述条件概率将无意义，特别对连续型随机变量Y，无论y为何值，总有P{Y=y}=0。为了解决这一问题，可采取下列办法。
          设Y在区间（y-△y,y）内的概率不为零，即P{y-△y<Y≤y}>0,此时条件概率P{X≤x∣y-△y<Y≤y}便有意义，如果当△y→0+时，此条件概率的极限存在,我们便将此极限定义为P{X≤x∣Y=y}，并称它为X的条件分布函数。
定义1：设对固定的实数y及任意△y>0有P{y-△y<Y≤y}，如果
存在，则称此极限为在Y=y条件下，X的条件分布函数。
同样，可定义在X=x条件下，Y的条件分布函数
§3.4.2条件分布律
定义2：设（X，Y）为二维离散型随机变量，其分布律为
如果对固定的j，P{Y=yj}>0，则称下列一组条件概率

为在Y=yj条件下，X的条件分布律.
同样,对固定i,若P{X=xi}>0,则称下列一组条件概率                                                                                     为在X=xi条件下,Y的条件分布律
        不难看出,对数轴上子集A有  
       
进而有
  
例1 设(X,Y)的分布律为
Y
X                1         2         3         4
1         0.1         0         0.1         0
2         0.3         0         0.1         0.2
3         0         0.2         0         0



试求在条件X=2下，Y的条件分布律。
解：首先求出边缘分布律，见下表
Y
X         1         2         3         4          

1         0.1         0         0.1         0         0.2
2         0.3         0         0.1         0.2         0.6
3         0         0.2         0         0         0.2

0.4         0.2         0.2         0.2         1
   
   
总之，在X=2条件，Y的条件分布律为
Y         1         2         3         4


0          




§3.4.3条件概率密度
定义3：设（X，Y）的概率密度为f(x,y),fx(x)与fY(y)分别为关于X和关于Y的边缘概率密度。
                                                                                                为在Y=y条件下，X的条件概率密度。
如果对固定的x，fx(x)>0则称  为在X=x条件下，Y的条件概率密度。
         

例2：设（X，Y）的概率密度为

解：图绘出使f(x,y)>0的区域
首先，求出边缘概率密度，当-1<x<1时

总之，关于Y的边缘概率密度为
下面求条件概率密度












五 二维随机变量函数的分布

五 二维随机变量函数的分布
    所谓二维随机变量（X，Y）的函数Z=g（X，Y）是指Z也是一个随机变量,且每当（X，Y）取值为（X，Y）时，Z的取值便为Z=g（X，Y）
        例如，测量一长方形土地，共长为X，宽为Y，则其面积便为Z=XY。
§3.5.1离散型随机变量的情况
例1：一个仪器由两个主要部件组成，其总长度为此两部件长度之和，这两个部件长度分别为X和Y，且相互独立，其分布律分别为
    X             9             10          11         ,           Y             6             7   
P        0.3         0.5          0.2                     P            0.4           0.6
求此仪器总长度Z的分布律

解：  Z=X+Y
首先，写出（X,Y）的联合分布律
  Y
X
   6               7   
9        0.12        0.18
10        0.20        0.30
11        0.08        0.12
改写为：
(x,y)        (9,6)        (9,7)        (10,6)        (10,7)        (11,6)        (11,7)
P        0.12        0.18        0.20        0.30        0.08        0.12
按随机变量函数概念可救求出Z=X+Y的可能取值，见下表   
Z=X+Y        15        16        16        17        17        18
(X,Y)        (9,6)        (9,7)        (10,6)        (10,7)        (11,6)        (11,7)
P        0.12        0.18        0.20        0.30        0.08        0.12
对于相同的值进行合并，相应概率按概率可加性相加，便得Z=X+Y的分布律为
Z=X+Y        15        16        17        18
P        0.12         0.38         0.38         0.12





                                                                                                                                         


§3.5.2 连续型随机变量的情况
利用“分布函数法”求z=g(X,Y)的概率密度，即首先求z的分布函数

两边求导便可得到Z的概率密度。

解：X和Y的概率密度分别为

由于X与Y独立，于是（X，Y）的概率密度为



当z≤0时，显然F2(z)=0对Z求导,使得Z的概率密度



例4：（和的分布）设（X，Y）的概率密度为f(x,,y),求Z=X+Y的概率密度。
解：首先求Z的分布函数




两边对z求导，便得Z的概率密度

特别，当X与Y独立时，有Z=X+Y的概率密度：






例5：设X,Y独立同分布于N（0，1），试求Z=X+Y的概率密度  
解：  
           
一般，若X,Y独立独立，且  ，则

推广：若  相互独立，且  
则   






第四章 随机变量的数字特征
一 数学期望
年龄         18         19         20         21         ∑
人数         5         15         15         5         40
§4.1.1离散型随机变量的数学期望
例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下：
该班同学的平均年龄为：
若令x表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x的分布律为
x         18         19         20         21
p          




于是，x取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为
  
定义1：设x为离散型随机变量，其分布律为 如果级数  绝对收敛，则此级数为x的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=
意义：E(X)表示X取值的（加权）平均值
例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：
X1         8         9         10
P         0.3         0.1         0.6

X2         8         9         10
P         0.2         0.5         0.3
问谁的平均中环数高？
解：甲的平均中环数为 E(X1)=8  0.3+9  0.1+10  0.6=9.3
乙的平均中环数为 E(X2)=8  0.2+9  0.5+10  0.3=9.1
可见E(X1)> E(X2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。

例3：设  ，求E(X)
解：由于                         ，其分布律为                                         ，k=0,1,2…,所以


例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？
X        4        5        6        7        … n …
P        0.2        0.8  0.2         



解：令X表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X的分布律为
于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为

由于  ,求导数
将x=0.8代如上式，便得  
将此结果代入原式便得： （次）
§4.1.2连续型随机变量的数学期望
                                                                                                                                         绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记为E(X)，即


   
  
，
   
例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：  这里a,k均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。

W的分布函数为                                                                                                        
两边求导，使得

  
进而便可求得W的数学期望
  
        由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度ƒw(z)，而根据V的概率密度ƒv(v)也可直接求出W的数学期望值，即

§4.1.3随机变量函数的数学期望值
1.一维随机变量函数的数学期望
定理1：设X为随机变量，Y=g(X),
(1)        如果X为离散型随机变量，其分布律为  ，且级数   
(2)        如果X为连续型随机变量，其概率密度为ƒ(X)，且积分  绝对收敛，则有
   
证略

X         -1         0        1/2        1        2
P        1/3         1/6        1/6        1/12        1/4
例8：已知X的分布律为        求：  
解：   
例9：设  ，求  
解：  
                                                （令 m=k-2）
例10：设  ，求  
解：由于X的概率密度为 于是

例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，            并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？
解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数
  由于  ，即其概率密度为
                                                                于是国家的平均收益为
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        令
                解得 a=3500（吨）
                但  ，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。

2.二维随机变量函数的数学期望
定理2.设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)
（1）如果(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为  
  
（2）如果（X，Y）为二维离散型随机变量ƒ(χ,y)  
                                                                                                                             证略。
例12.设(X,Y)的概率密度为                                                                                试求E(  )

§4.1.4数学期望的性质
性质1.若c为常数，则E(c)=C               
性质2.若c为常数，X为随机变量，则E(cX)=cE(X)
性质3.设X,Y为任意两个随机变量，则E(X±Y)=E(X) ±E(Y)       
推广：设                                 为n个随机变量，则有
性质4.如果X,Y相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)        
推广：如果n个随机变量X1,X2,…Xn相互独立，则有则有                                                 。
例13.有一队射手9人，每位射手击中靶子的概率都是0.8，进行射击时各自击中靶子为止，但限制每人最多只打三次，问平均需要为他们准备多少发子弹？
解：令          表示第i名射手所需的子弹数i=1,2,…,9        X为9名射手所需的子弹总数，显然
Xi        1        2        3

p        0.8        0.2×0.8=0.16        1-0.8-0.16=0.04
而  的分布律为于是
由性质3便可求得
平均所需准备的子弹数：

即平均需准备12发子弹。

二 方差
§4.2.1方差的概念


  

意义：D(X)表示X取值相对于平均值E(X)的分散程度
§4.2.2 方差的计算
1.由方差定义直接计算
  
(2)若X为连续型随机变量，其概率密度为ƒ(χ),则

  GD  
2.由下列重要公式计算

证：  
    GD
例2.设  求  
解：前面已求得  于是
例3.设  
解：前面已求得                                                                                 ，于是

§4.2.3方差的性质
         


（注意：相加时期望没要求相互独立）
                                           
  
性质4.设X为随机变量，则D(X)=0的充分必要条件为 其中c为常数。

例4.设X为随机变量，E(X),D(X)存在，又设  ，  


例5.设X~B(n,p),求E(X), D(X)
解：设在贝努里试验中，事件A出现的概率为p,将此贝努里试验独立重复进行几次，构成n重贝努里试验,令
Xi        0        1





                                                                i=1，2，…，n

另一方面，令X表示n重贝努里试验中事件A出现的次数，则X~B(n,p)
     
§4.2.4切比雪夫不等式
定理1：设X为随机变量，且E(X),D(X)存在，则对任意实数є ，                          成立

证：只证X为连续型随机变量的情况
设ƒ(χ)为X的概率密度，则有  
例6.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，试估计夜晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。
解:令X表示夜晚同时开着灯的数目，X~B(10000,0.7)

可用车比雪夫不等式进行估计此概率   
§4.2.5常用分布的数学期望与方差                        以下结果要熟记
1. 二点分布X～B(1,p)
X        0        1        0   q=1-p, E(X)=p, D(X)=pq
p        q        p       
2. 二项分布X～B(n,p)

  .




  .
   
   


三 协方差及相关系数
§4.3.1协方差
1．协方差的概念





     滚动              滚      滚动                                                                                                     
2.协方差的性质



   
       滚动

例2：甲乙两人猜测箱中产品的数目，猜测结果分别记为X和Y (单位：百个)已知（X，Y）的分布律和边缘分布律由下表给出：
X\\Y        1        2        3         

1        0.2        0.1        0.01        0.31
2        0.15        0.30        0.06        0.51
3        0.03        0.05        0.10        0.18

0.38        0.45        0.17        1
        滚

§4.3.2相关系数
1．相关系数的概念

例3：  
解：由前面得到的结果可知  ，且

2． 相关系数的性质
性质1  
性质2  
证：   （  ）
   
X         -1         0         1
P          




例4：设X的分布律为

解：       滚动


于是   而  
所以   
  滚动       滚动
      滚动
讨论如下：
（1）   
（2）     。
（3）   
。
性质3  




  滚动






  

§4.3.3协方差矩阵


为（X1，X2，…，Xn）的协方差矩阵，简称为协差阵。
性质
1. V为对称阵，即Vij=Vji,一切i,j
2. V主对角线之 元素为X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,…,n滚动




   滚动

四 n维正态分布
§4.4.1 n维正态分布的概率密度
对二维正态分布的随机变量（X，Y），其概率密度为  

滚动          
可见，（X，Y）的概率密度便可表为

定义1.如果n维随机变量（X1，X2，…，XN）的概率密度为






§4.4.2 n维正态分布的几个重要性质
  



滚动

由性质3可知（X，Z）服从二维正态分布，而
  
即X与Z不相关，从而X与Z相互独立。




第五章 大数定律及中心极限定理
一 大数定律
§5.1.1 四种收敛性


则称{Xn}依概率收敛于随机变量X，记为


  




四种收敛性有以下关系：

§5.1.2几个常用大数定律

1．切比雪夫大数定律
   
     GD
证 ：  
      
再由车比雪夫不等式，使得：
   
即得  
推论：   
   
2． 贝努里大数定律
    GD
     即  
        贝努里大数定律说明：当试验在不变条件下，重复进行多次时，随机事件的频率应在它的概率附近摆动。
          特别，概率很小的事件其频率应很小，即在实际的一，二次试验中几乎是不可能发生的，人们常常认为那些概率很小的事件实际上是不可能发生的。这个原理称之为小概率事件的实际不可能性原理，简称为小概率事件原理，在实践中有广泛的应用。
二 中心极限定理
所谓中心极限定理是指一系列定理，研究的是随机变量序列{Xn}的前n项和，

§5.2.1.独立同分布随机序列的中心极限定理
定理3：设随机变量序列 独立、同分布，且                     证略。

         
例1：设有串联电阻网络（见图）
每个电阻的阻值为随机变量，它们独立，同分布都服从均匀分布U[90，110]（单位：欧姆）
解：   
由上面给出近似公式，可得所求的概率  
此例的结果说明一个很有意义的事实：      
两者相比，后者概率值有很大提高，这说明电阻串联可以减少电阻值的随机性，使网络变得更加稳健。
§5.2.2．隶莫佛--拉普拉斯中心极限定理


    GD
由独立同分布中心极限定理便可得：
     

例2：人寿保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计企业的利润需要计算各种各样事件的概率，以下便是一例：在一年内某种保险者里，每个人死亡的概率为0.005，现在有10000人参加此种人寿保险，试求在未来一年内这些保险者中死亡人数不超过70人的概率。
解：
按题意要计算的概率为：
   
例3某单位有200台电话机，每台电话机大约有5%的时间需使用外线，假定每台电话机是否使用外线彼此独立，试问：该单位总机至少需安装多少条外线才可以依90%以上的概率保证每台电话机在使用外线时而不能占用？
  又设K为该单位总机安装的外线数，按题意即要求的便是使得P{0≤η≤k}  90%的最小的K值。

谢谢！！！！！！！！！！！