设f(x)连续且有界，G(x)=f(x)×∫f(t)dt （积分下限是0，上限是x），单

surlogics · 发表于 10-9-21 11:18:48

设f(x)连续且有界，G(x)=f(x)×∫f(t)dt （积分下限是0，上限是x），单调减少，证明f(x)=0

我令G(x)=f(x)F(x)
求导G'(x)=f'(x)F(x)+[f(x)]^2≦0，但是接下来怎么做啊

huangan · 发表于 10-9-21 12:36:09

假设f(x)=0，则G(x)=0，与题设单调减少矛盾，所以f(x)不恒等于0

surlogics · 发表于 10-9-23 11:35:28

可是题目要求证明f(x)恒为0啊

考研必胜之TCWG · 发表于 10-9-23 14:55:40

题错了吧

857490327 · 发表于 10-9-23 18:14:53

题目有问题啊

xjpoo7 · 发表于 10-9-24 00:02:49

f'(x)不对呀,不能保证f'(x)存在.

263076072 · 发表于 10-9-24 22:47:59

题目错了吧

dreamlovers · 发表于 10-9-25 01:42:51

怎么都说错了，没人说原因呢，给个完整的证明出来。。。

dreamlovers · 发表于 10-9-25 02:11:28

假设存在x0，使得f(x1)!=0,不妨设f(x1)>0,由f(x)的连续性，存在邻域U(x1,$),对任何x属于U(x1,$),f(x)>0.
记inte(0,x)f(t)dt=F(x),则由G(x)单减，对任何x1<x2,G(x1)>G(x2),特别的在上述邻域内取x1,x2,则有：
f(x1)F(x1)-f(x2)F(x2)>0
f(x1)F(x1)-f(x1)F(x2)+f(x1)F(x2)-f(x2)F(x2)>0
f(x1)[F(x1)-F(x2)]+[f(x1)-f(x2)]F(x2)>0----------------------------1
f(x1)F(x1)-f(x2)F(x1)+f(x2)F(x1)-f(x2)F(x2)>0
f(x2)[F(x1)-F(x2)]+[f(x1)-f(x2)]F(x1)>0-----------------------------2
在以上邻域内，f(xi)>0,i=1,2,且F(x1)<F(x2),所以上述两不等式左边第一项均为负(可以证明当f(xi)<0,i=1,2时也成立),为此要不等式1,2成立，则要求f(x1)-f(x2)与F(xi)(i=1,2)同号，这个意思是说导函数的单调性与某一原函数在对应点的函数值密切相关，这个条件由题设f(x)连续有界根本得不出，同一个函数既存在符合的情形，也有不符的情况(简单如f(x)=x^2-C(C>0)，|x|>=x0,直接令f(x)=x0^2)，故不能完全推翻假设,题目不对。。。

surlogics · 发表于 10-10-2 19:35:31

谢谢。。。。。。。。。。

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