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标题: [专业课活动]高等代数天天见-7（已公布答案） [打印本页]

作者: lykwinner 时间: 08-5-28 02:07
标题: [专业课活动]高等代数天天见-7（已公布答案）
来做题了！看后不要犹豫，赶紧做吧！有兴趣的同学可以把自己的思路回复上来。更加欢迎你传个答案图片或者word上来，一起来分析你的解题步骤。
这个是公式编辑器的下载处：http://bbs.freekaoyan.com/thread-131486-1-1.html
鉴于大家对于这个题目提出了各种不同的意见，我们给出三种方法分别从秩的角度，若当标准型的角度，线性方程组的角度来解答此题。需要指出，方法三，15楼的已经给出。我们在给出两种方法。由于这些答案均是人工制作，脑误与手误在所难免，不妥之处劳烦大家指出。20楼的给我们提供了第四种解法。

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-9-8 09:22 编辑 ]

作者: xianbaoqing 时间: 08-5-28 07:53
我是第一个吗？那我说个思路吧，任何一个n阶方阵都可以化成对角矩阵，由题意知设A的秩为r即主对角线上有r个不为0的行，又A^2的也为秩为r即它主对角线上也有r个不为0的行，这样A和A^2的形式也就出来了，接下来大家继续了。

作者: hulucs 时间: 08-5-28 11:19
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作者: hulucs 时间: 08-5-28 11:29
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作者: gguni 时间: 08-5-28 11:33
标题: 回复 #1 lykwinner 的帖子
用反证法，应该还可以证出来的，可是我都不会证了。为什么不设置成，回复即可见的状态呢！

[ 本帖最后由 gguni 于 2008-5-28 11:34 编辑 ]

作者: Jennifer1955 时间: 08-5-28 11:47
思考中还没有头绪

作者: lykwinner 时间: 08-5-28 12:02
标题: 回复 #4 hulucs 的帖子
这个思路是完全正确的。你在三楼提出的利用第四题的解法也很好。也就是利用此题结论，令此题中的A=B=C,结合r(A)=r（A^2），即可得。有兴趣的可以把详细过程写出来。

作者: lykwinner 时间: 08-5-28 12:07
标题: 回复 #2 xianbaoqing 的帖子
首先，按照你的这个解题思路可以做下去，但不是每个方阵都可对角化，而是每个矩阵均有若当标准形。按照若当标准形的思路，你在重新考虑下？？谢谢参与

作者: xianbaoqing 时间: 08-5-28 13:29
上楼有人可能没看清我说的条件，我说的是n阶方阵，并不是我上楼说的每个方阵，条件题目以给出的

作者: lykwinner 时间: 08-5-28 13:47
恩，非常高兴看到你的热情。事实上，题目给出了关于A和A^2的秩的关系。但这并不能说明A可以对角化。A可以对角化的充要条件有（1）具有n个线性无关特征向量。（2）最小多项式无重根。（3）特征根的几何重数=代数重数等几类常见的可以对角化的矩阵：实对称阵，正交阵。。。
看下面这个例子。

作者: xianbaoqing 时间: 08-5-28 13:57
可能我的表达错了吧，对于n阶方阵我们最少可以化成上三角形式吧，这样我们也就可以判断出它的秩了对于上面的A可以写成[1，0，0，1]形式，我开始的意思是这个。

作者: lykwinner 时间: 08-5-28 14:17
恩，我明白你说的意思。但是，数学是严格的，我在给你“挑点刺”（很有好地），即使我们把一个矩阵化成上三角以后，也不能通过主对角的非零元个数来判断它的秩。看下面A的秩的一个表示：

作者: xianbaoqing 时间: 08-5-28 14:27
很感谢你啊，看来我的知识连贯还不行啊，谢谢你啊

作者: xianbaoqing 时间: 08-5-28 14:30
对于你上面如果那个=0的话，我可以通过矩阵的初等变化，把1换到主队交线上来这样就可以了，你说呢

作者: xianbaoqing 时间: 08-5-28 15:35
不过我感觉啊，用秩本身来做可能更好

作者: lykwinner 时间: 08-5-28 20:07
标题: 回复 #15 gududi 的帖子
好厉害，你的做法是正确的。我也是使用了这样的解法做的。下去我考虑下用若当标准型怎么说的明白。感谢支持

作者: lykwinner 时间: 08-5-28 20:23
标题: 回复 #14 xianbaoqing 的帖子
个人认为啊，许多矩阵都是通过研究其标准型来研究它本身，如果对它的标准型再进行初等行列变换，我倒没有试过。不过你提议通过矩阵（秩）本身的特点，而非转化为线性方程组的方法来证明。提议好，我下去试一下，力争能说明问题。因为我的解法和15楼的是一致的。
感谢大家的参与，正是通过了大家的交流来体现我们的优缺点，最后达到共同的进步，这也是我们办这个节目的初衷！

作者: waterbeast 时间: 08-5-28 22:24
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作者: 岳丽娜 时间: 08-5-28 23:27
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作者: lykwinner 时间: 08-5-29 01:00
标题: 回复 #20 岳丽娜的帖子
非常好的解答，对初等行列变换的理解要求很高。谢谢你给我们提供了第四种解法。

作者: watering 时间: 08-5-30 14:04
楼主好样的，楼主辛苦了～

认真学习下～

作者: xianbaoqing 时间: 08-6-1 12:52
标题: 看看
对不对

作者: lykwinner 时间: 08-6-1 17:20
标题: 回复 #23 xianbaoqing 的帖子
你这个思路完全正确，表述上能详细点的话，就完善了！最后一步还要完善下，就是在吧A^3表示出来，再证明它的秩为r。

作者: fayeyon 时间: 08-6-2 23:53
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作者: xiangqian 时间: 08-10-4 18:52
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作者: zp861123 时间: 08-10-8 10:36
大家以后多发这种贴子啊,一块探讨!!!!!!!!!!

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