自旋的问题

Questions:
由于自旋没有经典对应,我到现在也不大明白:
说自旋在某个方向的投影,这个方向是什么?是坐标空间的某个方向么?可自旋不是和坐标空
间相独立的一个自由度么?
由此,书上说的电子自旋在各个方向的投影都只能取两个值就更不能想象了.

Mathii:
1。现在我们说的自旋的某些性质，其实对于现在的我们是没有办法搞清楚的，当学到相对
论量子力学的时候我们就会发现自学这个概念会被自然的引入。
2。我们平时说的自旋在某某方向上的投影值的就是空间方向，我认为，这种投影是可以用
下面的方式理解的：其实我们实在一个四维空间中的，自旋作为电子的内秉性质关于“时间
“这个方向是对称的，也就是说，自旋这个物理量对于我们现在说的三维空间xyz是等权的，
但是由于我们的世界是一个低速环境（非相对论），所以原本同样作为四维空间中地位相同
的Lx,Ly,Lz,S由于其所依赖的坐标不同，随着非相对论下时间的自我独立性的增强，S与
Lx,Ly,Lz的关系也就分离了，让人们感觉到好像是S空间和L空间（xyz空间）没有什么关
系。

说到这儿，应该对于S在xyz空间中各处的分量都是相同的有一点点感觉了吧。



Steve:
我想questions提的quesion或许是把“坐标空间与自旋空间的独立性”看的有点太神秘了吧。
我觉得其实空间就还是我们所看到的这个平平常常的三维坐标空间，而每一点上附加了和这
个点本身位置无关的一个属性。这里的无关性仅仅指选定某一特殊方向后，任意一点的这个
附加属性在该方向的投影与该点无关。
至于在各方向的投影只有两个取值，恰恰是这一点使这个附加属性具有角动量的对易关系，
于是名之曰--自旋角动量。（关于这一说法参见《量子力学习题精选与剖析》（上）
p179//6.11题）

Nabla:
"庄老师在课上讲的，自旋空间与坐标空间是无关的。而后，坐标算符在自旋表象中就是
L=~LI,即坐标算符乘以二阶单位阵，这怎么理解？我们以前求算符在一个表象下的矩阵不
是用L=Ψ*~LΨ这样先求得矩阵元再写成矩阵吗，现在为何不用？"

我想回答这个问题要从“空间直积”这个概念入手，在考虑自旋自由度之后，我们都是在“自
旋-坐标”的直积空间中讨论问题（显然这个空间要比坐标、自旋空间都大），在这个大的新
的空间中，我们要重新定义我们的矢量和算符，这里只说算符。不太严格的说，在直积空间
中的算符都是有两部分组成的，分别来自于“自旋”和”坐标“空间，换句话说，就是：大空间
的算符=两个小空间算符的直积。对于某些只属于某一个小空间的算符（就用坐标算符为例
吧，坐标算符就只属于坐标空间，与自旋无关），她对应的大空间的算符只能是：
坐标算符 直乘 上自旋空间的“单位算符”！！！
于是，如果要进入表象的话，“单位算符”对应的就只能是单位矩阵！

Galois:
我们通常用波函数来描述态，从表象的观点来说，是在坐标表象中处理问题，而波函数就是
态矢量在坐标表象的列向量矩阵元。

好，现在加进自旋。我们知道自旋是一种内禀属性，自旋算符与坐标算符是对易的。为了在
描述态的空间分布的同时，也描述粒子的自旋性质，我们就要采用坐标与自旋的共同表象，
而不能只用原来的坐标表象。

我们知道，对于同样的一个坐标本征态，粒子可以有多个自旋状态，这样一来，我们看到，
坐标—自旋共同本征态的数目比原来不考虑自旋时翻番了。这样，也就是说，矩阵的维数也
要翻番。这样，态矢量在新的表象里头也因为多了自旋指标而使得“坐标”（或说列向量矩阵
元）个数翻了一倍，相对于原来变成二分量。换句话说，自旋不为零的粒子，必须用多分量
波函数来描述，而不能再用单一波函数描述。


Galois:
关于自由度，我先说两句。自由度是什么意思？我认为，自由度就是说，你用多少个彼此独
立的力学量的值，就可以完全地描述这个体系。

在经典力学中，我们知道，三维空间的一个粒子，有三个坐标自由度（N个粒子则有 3N 个
自由度），你可以选择xyz来描述，也可以选择球坐标的三个坐标描述。你要确定这个体系
的运动，则要用牛顿方程求出这3个坐标随时间的变化规律，且只需知道这3个量。

在量子力学里头，同样，考虑三维空间一个自由粒子，你用动量矢量的3个分量，再加上自
旋（注意，自旋是经典中没有的自由度），就可以完全描述这个粒子的状态。再比如，你考
虑氢原子中的电子，你只要知道它的能量，角动量平方，角动量第三分量，和自旋，就可以
完全描述这个电子的状态。这样，我们看到，量子力学里，粒子多了一个自旋自由度。一般
地，三维空间中一个粒子，要用量子力学来描述它，只需找到 4 个彼此对易的守恒力学
量，用他们的共同本征态就可以完全描述这个粒子，这一组量子数就是好量子数。
注意，并不是所有的情况下，都是4个自由度，需要具体问题具体分析。比如，一个无自旋
粒子就只有3个自由度。如果你学粒子物理，还会看到一个有趣的例子。中微子是一种很奇
特的粒子，它的自旋（1/2）相对于动量存在极化，即自旋要么顺着动量方向，要么反着动
量方向。按理说，对于中微子，我们选择动量的三个分量，加上一个所谓的螺旋度（自旋在
动量方向的投影），就可以描述一个中微子，仍然是4个自由度。奇怪的是，自然界只存在
有一种中微子，即所谓左旋中微子(正是这一点破坏了宇称不守恒)，这样，它只有三个自由
度。

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