求教一线性代数小题

sxt1987 · 发表于 08-9-12 11:17:09

好心人帮我解答下这个题吧，谢谢了，自己做不来

A，B 是N阶方阵，E为N劫单位矩阵，证明若E-AB可逆，则E-BA也可逆

hjtpevel · 发表于 08-9-30 16:16:22

8楼的最好，最简明。。

gsj5555 · 发表于 08-9-28 08:30:14

难题啊。。

gsj5555 · 发表于 08-9-27 22:25:48

证明可拟不难，如果求出可逆就那了
可以这么证明：
（E-AB）C=E 推出：
C-ABC=E
E=E—BA+BA=E—BA+B（E—AB）CA=E—BA+（B—BAB）CA=E—BA+（E—BA）BCA
=（E-BA）（E+BCA）
故E-BA可逆
其中C为E-AB的逆矩阵

289570753 · 发表于 08-9-14 20:21:04

8楼的是怪才！佩服

linexp · 发表于 08-9-14 18:00:56

方法难以想到

amair · 发表于 08-9-14 15:51:31

摘自《高等代数新方法》

sxt1987 · 发表于 08-9-14 15:03:39

没想到反证，多谢

s5279551 · 发表于 08-9-13 20:14:02

楼上正解，此题不难吧。。。

哼哼哈哈 · 发表于 08-9-12 12:55:49

若E-BA不可逆，则存在一个x不等于0，使得（E-BA)X=0，即x=BAX,令Y=AX,则X=BY,所以Y不等于0，又（E-AB)Y=Y-ABY=0,由于E-AB可逆，故Y=0,矛盾

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