清华06年高代试题

06年清华大学高代试题
1.（30）一个行列式为1的n阶方阵能否写成若干个行列式为1的初等矩阵之积？若是，给出证明。若否，举出反例。

2.（20）设A为m*n矩阵，B为n*m矩阵.证明存在m*n矩阵C使得A=ABC当且仅当rank(A)=rank(AB).

3.(30)设A为n阶实矩阵，I为n阶单位矩阵。证明：rank(A-iI)=rank(A+iI),其中I为虚数单位。

4.（20）设α1, α2, …,αs是一组线性无关的向量。那么α1+α2，α3+α4，…αs-1+αs,αs+α1是否线性无关。证明之。

5.（20）设α，β为偶市空间V中的单位向量。证明存在V的正交变换σ（α）=β。

6.（30）设A= 1  -1  2       ，k是任意的正整数，求Ak（A的k次幂）。
              0 -5  6
                     0  1  0