为什么导数间断点只可能是第二类间断点

针对大家问的问题，我发表此贴

这是摘自李永乐10的模拟400附录的证明
我有点疑问

第二证明，既然说f(X),在(a,b)可导，那么就应该处处可导。
说明每一点导数值都应该存在啊，那下面（指第二问证明）证明不是有点矛盾吗
至少有一点不存在，那不就是那点不可导吗（因为左右导数不相等）

引用第12楼cyd1990于2010-12-03 15:40发表的 回 楼主(5月的阳光) 的帖子 :
我和楼主有同样的疑问，就是既然它导函数存在第二类间断点就说明该点的左导数不能等于右导数，那既然如此在该点就违反了导数可导的条件（即左导数=右导数），那又怎么说明其在（a,b）内可导呢？如果楼主明白请告诉我谢谢~

反例是理解驳论的王道

我举个例子，说明左导数和右导数 和 导数的左右极限不是一个概念
f(x)=0        x为有理数
     =x^2    x为无理数
显然在x=0点，左导=右导=0，（大家可以验证），但显然f(x)在X=0的任一个去心邻域导函数均不存在。
所以这两个概念不是一回事

显然大家对于导函数的左右极限和左右导数的概念还是混淆的。。。

我和楼主有同样的疑问，就是既然它导函数存在第二类间断点就说明该点的左导数不能等于右导数，那既然如此在该点就违反了导数可导的条件（即左导数=右导数），那又怎么说明其在（a,b）内可导呢？如果楼主明白请告诉我谢谢~

其实此题的解答大家看不明白的应该是在（2）的假设那里，可能有些朋友对那个假设看的不是很明白
其实假设是这样的，就是假定这两个极限存在，至于极限值是多少无所谓，用了个A+和A-代替。
接下来就是证明只要这两个极限存在，由（2）的条件，f(x)在(a,b)可导，推出f \'(x0)存在，从而推出x0处左右导数相等，从而再推出A+和A-相等。
这里就清楚了，假设中跟极限值是没有关系的。
后边推出矛盾后，证明我们的假设错误，即极限不存在。

估计看到这里大家就明白了，9楼所问的\"为什么推不出不相等\" 显然是没弄明白假设的缘故。

（3）其实也好理解，你弄明白（2）之后，依然是反证法，假设结论正确。就可以得到F(x)在(a,b)可导，x0是 F\'(x)的间断点(且不论它是什么间断点)
这就满足了(2)的条件，由(2)得出，只要是间断点，必然是第二类间断点，与(3)的条件矛盾(题设是第一类间断点)矛盾。得证。

由(1)==>(2)==>(3)，大家要紧紧抓住题目的条件，尤其是反证法！   大家在记结论的同时，一定要注意结论的使用条件。
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谢谢楼主分享

我理解了，呵呵

导函数是否连续与原函数是否可导不存在必然联系  这句话是没问题

那导数左右极限不能相等，为什么只能=====》有一个不存在
为什么推不出  两者不相等呢？？也就是说 是第一类间断点

题目证的是f(x)的导函数的连续性，而不是f(x)的连续性，导函数是否连续与原函数是否可导不存在必然联系吧
用的是反证法，假如是第一类间断点，则可推出导函数连续，与假设矛盾，

第一类间断点没原函数。。