分享一道线代（拓展思路）10楼发布了详细解答

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分享一道线代题，大家拓展下思路


第二问不一定要具体回答，定性就可以了


第二问是“实矩阵A”，多打了个“矩阵”

remarks 发表于 09-12-4 18:26
AT*A都正定了，怎么还会有0特征值？

问的好啊

第一问很容易   因为AB*X=0与bX=同解   所以两者的秩相等
同解证明如下  如果a是BX=0的解，那么a肯定是ABX=0的解
如果a是ABX=0的解，那A*BX=0, A是满秩，所以只有0解，即BX=0   
古同解

AAT是mxm 型，ATA是nxn型，别看错了哦

AT*A与AAT相同吗？？

AT*A都正定了，怎么还会有0特征值？

我完善一下第一问   设A是mxn型矩阵，B是nxs型矩阵，则AB是mxs型矩阵

对于齐次方程组 (1) ABx=0 和(2) Bx=0

如果x是(2)的解，有Bx=0，那么ABx=0，于是x是(1)的解

如果x是(1)的解，有ABx=0,因为A是mxn型矩阵，r(A)=n，所以Ax=0只有零解，于是

x是(2)的解

因此方程组(1)与方程组(2)同解，s-r(AB)=s-r(B),即r(AB)=r(B)

此题目虽然不太会考，但作为拓展思路，还是有必要的
我一开始也没想到怎么去证明n个正特征值，那部分证明是会员“mouse123”证出来的
我后来又研究下了，觉得这种题目对线代的整体知识把握很好，所以奉献给大家

[ 本帖最后由 cp1987916 于 2009-12-3 21:11 编辑 ]

猜想的非常好，这道题的综合性很强

AAT“半正定”

[ 本帖最后由 cp1987916 于 2009-12-3 20:35 编辑 ]

(1)根据版主的提示，第一问可以从证ABx=0与Bx=0等价入手，显然后者的解全是是前者的解，又对于前者的任何解x0,可以断言Bx0=0，若Bx0=y0非零，则方程Ay0=0有非零解，与A列满秩矛盾（如楼上的自由未知量解释，关于A可逆的论断不敢恭维），从而两方程组等价，即得r(AB)=r(B)。
(2)由A是n*m(n>=m)实矩阵，AAT是n*n实对称矩阵，从而必可相似对角化，由第一问结论r(AAT)=r(A)=m,若A是方阵(n=m)，则A可逆进而AAT可逆，特征值全不为零，且其和应等于A的行范数之和，亦即AAT的迹，这个值显然大于0，进一步猜想是不是全部特征根都大于零呢？答案是肯定的，事实上从定义出发取任意n维非零列向量x,xTATAx=(Ax)T(Ax)>0,ATA正定，ATA和AAT有相同特征根，AAT是正定的；若A不是方阵(n>m),由r(AAT)=m,则AATx=0的解空间是n-m维的，即AAT属于0的线性无关的特征向量有n-m个，可以断言特征根0是n-m重的(实对称矩阵代数重数和几何重数必然相等),其他m个非零特征根其和应等于A的行范数之和，是否还有其他m个非零特征值均大于零这样的结论呢？作为一个猜想等待大家证明，如果是个真命题，那么关于这题我们有结论：
  如果A列满秩，则AAT非负定，且有r(AAT)=m=p(正惯性指数）。