关于连续函数

tianliangzh · 发表于 11-2-26 13:48:32

在张奠宙等的实变函数与泛函分析基础中，有这么一个定理：度量空间X到Y的映射连续的充要条件是Y中的任意开集的原像为开集，闭集的原像仍然为闭集。
但是，对于函数f(x)=C,定义域为一开集，值域为单点集，显然为闭集，而原像为开集，但这个函数仍为连续的，这与该定理是矛盾的。为什么呢？

math7 · 发表于 11-3-31 21:31:22

开区间的聚点不属于开区间，这一点是没有错的，但是这句话是把开区间当做整个实轴的子集来说的。如果把开区间当成一个独立的空间，那么开区间的端点就不是聚点，就像无穷远点不属于实轴一样。关键是不要把开区间当做整个实轴的子集。

tianliangzh · 发表于 11-3-16 13:39:44

“空间X即是开集又是闭集”，那只是那样说的，但是你不能就那样承认了，得给出证明的，不然数学就不是数学了，就成了散文了嘛

猪亲106 · 发表于 11-3-15 13:43:11

就像空集既是开集又是闭集那样的。。。。

猪亲106 · 发表于 11-3-15 13:42:22

在泛函中，，空间X即是开集又是闭集，，，没有矛盾的

tianliangzh · 发表于 11-3-15 11:02:08

虽然在拓扑学中是这样说的，但按照闭集的定义，聚点应该都在这个集合里面的，没法想通开集还能看成闭的，除了整个实数集合等以外，显然是满足定义的

zhangzujin · 发表于 11-3-14 07:19:40

f^{-1}(C)= { x 在f 的定义域里头； f(x)=C } 它是相对于 f 的定义域来说是闭集。

所以需要相对拓扑的概念！～

tianliangzh · 发表于 11-3-12 13:25:22

只是希望得到举出的例子的解释

tianliangzh · 发表于 11-3-11 12:40:06

那么，一个实数域上的开区间如何看做闭的，解释下麻烦

math7 · 发表于 11-3-1 22:37:48

一般地，在一个拓扑空间中既是开集又是闭集的集合有两个：空集与全集。度量空间是一种典型的拓扑空间。

tianliangzh · 发表于 11-3-1 11:11:23

在证明的下面批注

		自动登录	找回密码
密码			注册

回 17楼(tianliangzh) 的帖子