程佩青《数字信号处理教程》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第1章　离散时间信号与系统
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　1.3　名校考研真题详解
第2章　Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　2.3　名校考研真题详解
第3章　离散傅里叶变换（DFT）
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　3.3　名校考研真题详解
第4章　快速傅里叶变换（FFT）
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　4.3　名校考研真题详解
第5章　数字滤波器的基本结构
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　5.3　名校考研真题详解
第6章　几种特殊滤波器及简单一、二阶数字滤波器设计
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　6.3　名校考研真题详解
第7章　无限长单位冲激响应（IIR）
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
第8章　有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器设计方法
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　8.3　名校考研真题详解
第9章　序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　9.3　名校考研真题详解
第10章　数字信号处理中的有限字长效应
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　名校考研真题详解
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内容预览
第1章　离散时间信号与系统
1.1　复习笔记
一、离散时间信号——序列
1．序列
序列可以有三种表示法。
（1）函数表示法。例如x（n）＝anu（n）。
（2）数列的表示法。例如x（n）＝{...，－5，－3，－l，0，2，7，9，…）本书中，凡用数列表示序列时，都将n=0时x（o）的值用下划线（_）标注，这个例子中有z（－1）＝－3，x（0）＝－l，x（1）＝0，…
（3）用图形表示，如图l-1所示。

图1-1离散时间信号的图形表示
2．序列的运算
（1）基于对序列幅度x（n）的运算
序列的简单运算有①加法；②乘法；③累加；④序列绝对和；
⑤序列的能量

；
⑥平均功率

。
（2）基于对n的运算
①移位，某序列为x（n）则x（n－m）就是x（n）的移位序列，当m＝正数时，表示序列x（n）逐项依次右移（延时）m位；当m＝负数时，表示序列 x（n）逐项依次左移（超前）m位；
②翻褶，若序列为x（n），则x（－n）是以n＝0为对称轴将x（n）序列加以翻褶；
③时间尺度变换。
（3）基于既对幅度x（n），又对变量n的运算
①差分运算
包括前向差分和后向差分，即

②卷积和



③求复序列E[x（n）]的共轭对称分量xe（n）及共轭反对称分量xo（n）或求实序列的偶对称分量xe（n）及奇对称分量xo（n）

3．序列的卷积和
（1）卷积和运算步骤分为4步：
①翻褶：选哑变量为m，作x（m）、h（m），将h（m）以m＝0的垂直轴为对称轴翻褶成h（－m）；
②移位：将h（－m）移位n，得h（n－m），n>0时，右移n位，nxy（m）与ryx（m）互为偶对称；
②rxy（m）不是偶对称函数；
③当x（n），y（n）是绝对可和的能量信号时，有：

（2）自相关函数序列
当x（n）＝y（n）时，称rxx（m）为自相关函数序列。
①rxx（m）满足偶对称关系，即rxx（m）是实偶序列；
②当m＝0时自相关序列取最大值；
③若x（n）是绝对可和的能量信号，则：

（3）相关函数（包括自相关，互相关）都可用卷积运算来求出，而卷积运算必须将一个序列加以翻褶然后再移位，在相关序列的卷积表示式中x（－m）已是翻褶序列，作卷积运算时再翻褶一次，两次翻褶，等于没有翻褶，其效果正好是不需翻褶的相关运算。
5．几种常用典型序列
（1）单位抽样（单位冲激或单位脉冲）序列

（2）单位阶跃序列

上述两种序列关系：



（3）矩形序列





（4）实指数序列

其中，|a|＜1时序列收敛，|a|＞1时序列发散。
（5）复指数序列

（6）正弦型序列

其中A为幅度，ω0为数字域频率，φ为起始相位。
数字域频率ω与模拟角频率Ω及模拟频率f之间的关系：

其中fs＝1/T表示抽样频率。
6．序列的周期性
（1）正弦型序列，可以看成是对模拟正弦型信号的抽样，但是对序列周期性的要求中

，r、n和N都要求是整数，因而周期性的模拟正弦型信号抽样得到的正弦型序列就不一定是周期性的，必须满足一定条件，它才能成为离散时域的周期性序列，这取决于ω0的取值。
（2）结论：
①

是整数时，例如

＝N，则正弦型序列的周期即为N；
②当

是有理数时，例如

，N、M为互为素数的正整数，则正弦型序列的周期为N；
③当

为无理数时，正弦型序列不是周期性序列。
7．用单位抽样序列表示任意序列
（1）δ（n）的选择性

（2）任意序列x（n）可以表示成单位抽样序列δ（n）的移位加权和

（3）任意序列x（n）与单位抽样序列的移位序列δ（n－n0）的卷积和就得到此序列作相同移位的序列x（n－n0）

二、线性移不变系统
1．离散时间线性系统
（1）线性系统应满足叠加原理，即

（2）证明一个系统是线性系统，则对于所有常系数（包括复数）及所有输入（包括复数）必须满足叠加性的两个条件（可加性和比例性），缺一不可；
证明系统不是线性系统只要找一个特定输入或一组特定输入，使其不满足可加性或比例性中任何一个条件即可；
（3）增量线性系统
如图1-1所示整个系统就是一个增量线性系统，即若

则



图1-1一种增量线性系统，其中yo（n）是系统的零输入响应
2．离散时间移不变系统
（1）离散时间系统移（时）不变系统是指移不变系统的参数是不随时间而变化的，即若

，则

；
（2）移不变系统的输出序列随输入序列的移位而作相同的移位，且保持输出序列的形状是不变的；
（3）若系统有一个移变的增益，或者在时间轴n上有任何压缩或扩展，则所得到的系统一定是移变系统，抽取和插值系统都是移变系统。
3．离散时间线性移不变系统（LSI系统）
LSI系统：指同时具有线性和移不变性的离散时间系统。
（1）单位抽样响应
单位抽样响应是指输入为单位抽样序列δ（n）时，LSI系统的输出序列，一般用h（n）表示，即

（2）设LSI系统的输入为x（n），输出为y（n），则y（n）为：

在线性移不变条件下，就可得到

（3）LSI系统卷积和运算的性质
①交换律

②结合律

③分配律

4．因果系统
因果系统是指输出不发生在输入之前的系统。
（1）考察任意系统的因果性时，只看输入x（n）和输出y（n）的关系,对于任意因果性系统，若n＜n0时输入相同，则n＜n0时输出也一定相同；
（2）LSI系统是因果性的充分必要条件是其单位冲激响应h（n）是因果序列；
（3）一般地n＜0时x（n）＝0的序列x（n）称为因果序列
5．稳定系统
稳定系统是指系统的有界输入产生有界输出，即
若

则有

（1）证明系统稳定，要用所有有界输入来证明；证明系统是不稳定的，则只要找任一个特定的有界输入，得到无界的输出即可。
（2）LSI系统稳定的充分必要条件是其单位抽样响应h（n）绝对可和，即：

（3）因果稳定的LSI系统在时域的充分必要条件是：

三、常系数线性差分方程——时域离散系统的输入、输出表示法
常系数线性差分方程用来表示离散时间系统的输入、输出关系，即

1．常系数线性差分方程表示的系统，只是构成线性移不变系统的必要条件，当边界条件不合适时，它不一定能代表线性系统。
如果边界条件是使系统是起始松弛即起始状态为零

，边界条件是

，则该系统就是线性、移不变的因果系统。
（1）对于N阶差分方程，如果n0＝0时输入信号，则边界条件为y（－1）＝y（－2）＝…＝y（－N）＝0。这时得到的系统一定代表线性移不变的因果系统。
（2）对于N阶差分方程，如果n0≠0时输入信号，其边界条件应改成y（n0－1）＝y（n0－2）＝…＝y（n0－2）＝0，这时也是起始松弛状态，所得到的系统是线性移不变的因果系统。
2．递推法求解运算，要双向递推求解，在递推运算中。后面的值可以将差分方程排列成前向运算的递推关系求出，即

前面的值可以将差分方程排列成后向运算的递推关系求出，即

四、连续时间信号的抽样
1．模拟信号的抽样
（1）理想抽样信号，设xa（t）为模拟信号，

为理想抽样信号，则有

即：

（2）理想抽样信号的频谱

由此看出，理想抽样信号频谱

是被抽样的模拟信号频谱

的周期延拓，在角频率Ω轴上其延拓周期为：

2．时域抽样定理
奈奎斯特抽样定理是若xa（t）是频带宽度有限的信号，要想抽样后的信号能够不失真地还原出原信号，则抽样频率fs必须大于或等于信号最高频率分量fh的两倍，即：

数字域频率与模拟域频率的关系：

信号的低频分量在

＝0附近，信号的高频率分量在

附近，而信号的最高频率分量在

处。
3．带通信号的抽样
（1）当

，r＝整数，即带通信号的最高频率是其通带宽度的整数倍时，则选抽样频率fs为：

（2）当

，

整数。这是最一般的情况，即带通信号最高频率不等于其带宽的整数倍时，这时，可保持fh不变，将通带下端延伸到使其带宽为

，即r是取r′的整数部分，显然此时有

，这时选抽样频率为：

（3）带通信号抽样频率fs的取值范围为：

4.连续时间信号xa（t）及其理想抽样信号

以及离散时间抽样序列x（n）的关系

5．信号的重建（抽样的恢复）
如果满足奈奎斯特抽样定理，即信号谱的最高频率小于折叠频率，则抽样后不会产生频谱混叠，可以重建原信号xa（t）。
将

通过以下作为重建用的理想低通滤波器，

输出为：



这就是信号重建的抽样内插公式。
其中，

称为内插函数，如图1-2所示。

图1-2内插函数
6．正弦型信号的抽样
正弦型信号的频谱在f＝f0处为δ函数，故其抽样就遇到一些特殊问题。一般来说，正弦信号的抽样频率必须满足

。
（1）若

则：
①当φ＝0时，则一个周期抽取的两个点为x（0）＝x（1）＝0，相当于xa（0）和xa（π）两个点，故不包含原信号的任何信息。
②当

时，则有x（0）＝A，x（1）＝－A，此时从x（n）可以恢复

。
③当φ为已知，且

时，则恢复的不是原信号，但经过变换后，可得到原信号。
④当φ为未知数时，抽样后不能恢复出原信号

。
（2）模拟正弦信号有3个未知数A，φ，Ω0，只要一个周期内均匀地抽得3个样值，即可准确地重建xa（t）。
（3）对抽样后的离散周期性的正弦序列作截断时（第3章中讨论的离散傅里叶变换，是针对有限长序列的），其截断长度必须为序列周期的整数倍，才不会产生频域的泄露。
（4）离散正弦序列不宜补零后做频谱分析，否则会产生频域的泄露。
（5）考虑到做DEF（离散傅里叶变换）时，当要求数据个数为N＝2P时（P为正整数），正弦信号一个周期中最好抽取4个点。

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