王高雄《常微分方程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第1章　绪　论
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　1.3　名校考研真题详解
第2章　一阶微分方程的初等解法
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　2.3　名校考研真题详解
第3章　一阶微分方程的解的存在定理
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　3.3　名校考研真题详解
第4章　高阶微分方程
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　4.3　名校考研真题详解
第5章　线性微分方程组
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　5.3　名校考研真题详解
第6章　非线性微分方程
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　6.3　名校考研真题详解
第7章　一阶线性偏微分方程
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


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内容预览
第1章　绪　论
1.1　复习笔记
一、常微分方程模型
1．微分方程模型的特点
（1）微分方程模型反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关，是一个动态（力）系统.
（2）完全无关的、本质上不同的模型有时可以由同类型的微分方程来描述.
2．构造常微分方程模型的方法
（1）从物理、力学等已确定的自然规律出发，提炼出状态变量，包括自变量和因变量（未知函数），考虑其主要因素，忽略次要因素，提炼出状态变量，包括自变量和因变量（未知函数），然后应用相应的规律和实际情况，构造出自变量、未知函数及其导数的关系式，即相应的微分方程；
（2）如果没有直接的已知规律可参考，可以利用不同现象可以具有相同的数学模型这一事实，应用类比方法，建立相应的模型；
（3）还可以根据已发现的数据，通过分析数据的相互关系加上合理的逻辑推理，寻找出相关规律建立相应的模型；
（4）最后，还可以根据一定的目的，通过反复试验，寻找出适合要求的模型．
二、基本概念和常微分方程的发展历史
1．常微分方程的基本概念
（1）常微分方程、偏微分方程及微分方程的阶
①微分方程：联系着自变量、未知函数及其导数的关系式称为微分方程；
②常微分方程：自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程；
③偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程；
④微分方程的阶数：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数.
n阶常微分方程具有形式

　　　　　　　（1.1）
其中，

的已知函数，而且一定含有

，y是未知函数，x是自变量.
（2）线性微分方程和非线性微分方程
如果（1.1）式的左端为y及

的一次有理整式，则称（1.1）式为n阶线性微分方程；不是线性微分方程的微分方程称为非线性微分方程.
n阶线性微分方程具有形式

其中，a1（x），…，an（x），f（x）是x的已知函数.
（3）微分方程的解和隐式解
①微分方程的解
如果函数y=φ（x）代入方程（1.1）后，能使它变为恒等式，则称函数y=φ（x）为方程（1.1）的解．
②微分方程的隐式解
如果由Φ（x，y）=0决定的函数y=φ（x）是方程（1.1）的解，就称Φ（x，y）=0为方程（1.1）的隐式解，隐式解也称为“积分”．解和隐式解统称为方程的解．
（4）微分方程的通解和特解
①微分方程的通解
含有n个独立的任意常数c1，c2，…，cn的解
y=φ（x，c1，c2，…，cn）
称为n阶方程（1.1）的通解．
关于解对常数的独立性是指，对φ及其n－1阶偏导数关于n个常数c1，c2，…，cn的雅可比行列式不为0．
同样可以定义方程（1.1）的隐式通解（通积分），称通解和隐式通解为方程的通解．
②微分方程的特解
a．微分方程的初值条件
n阶微分方程（1.1）的初值条件是指：
当x=x0时，y=y0，

，

，

　　　　 　（1.2）
其中x0， y0，y0（1），．．．，y0（n-1）是给定的n+1个常数．初值条件（1.2）有时写为

b．微分方程的特解
求微分方程满足初值条件的解，就是所谓的初值问题．满足初值条件的解称为微分方程的特解．初值条件不同，对应的特解也不同．
c．微分方程的特解的求法
一般来说，特解可以通过初值条件的限制，从通解中确定任意常数而得到．
（5）微分方程的积分曲线和方向场
①微分方程的积分曲线
一阶微分方程

　 　　　　　　　（1.3）
方程（1.3）的解y=φ（x）表示xOy平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线；通解y=φ（x，c）表示平面上的一族曲线，特解φ（x0）= y0为过点（x0，y0）的一条积分曲线．
积分曲线上过每一点的切线的切线斜率

为方程（1.3）右端f（x，y）在该点处的值；反之，如有一条曲线，其上每一点的切线斜率为f（x，y），则此曲线为积分曲线．
②微分方程的方向场
a．方向场：可以用f（x，y）在xOy平面的某区域D上定义过各点的小线段的斜率方向，这样的区域D称为方程（1.3）所定义的方向场，又称向量场．
b．方向场中方向相同的曲线f（x，y）=k称为等倾斜线或等斜线．
（6）微分方程组
①微分方程组
用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组．
②高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组
一般习惯将n阶常微分方程写成解出最高阶导数的形式

（1.4）
其中，

取变换

则n阶方程（1.4）变为

，
即可以将高阶微分方程或高阶微分方程组变换为一般的一阶微分方程组

，
或更简单的写成向量形式

　　　（1.5）
其中

③微分方程的线性和非线性，解和隐式解，通解和特解以及积分曲线和方向场等概念同样适合微分方程组.
（7）微分方程组的驻定与非驻定和动力系统
①微分方程组的驻定与非驻定
a．如果方程组右端不含自变量

　 　　　　（1.6）
就称该方程组为驻定（自治）的，右端含t的微分方程组（1.5）称为非驻定（非自治）的．
b．对非驻定微分方程组（1.5），引进新的时间

，方程组（1.5）化为

这就成为新的n+1维空间（t；y）驻定方程．
②动力系统
驻定微分方程组（1.6）的y的解φ（t；y）可以视t为参数，有非常好的性质：可看成为D到D的单参数变换群，也就是：如记Φt（y）=Φ（t；y），令Φ（y）为参数t的y∈D的映射（变换），则映射在D上满足恒同性Φt（y）=y和可加性

，满足上述性质的映射称为动力系统．
动力系统有连续和离散两种类型，因此驻定微分方程组可称为连续动力系统{Φt|t∈R}，或称连续动力系统{Φt|t∈R}为由常微分方程定义的动力系统．{Φn|n∈Z}，这里Z为整数集，定义为离散动力系统．
（8）相空间、奇点和轨线
①不含自变量，仅由未知函数组成的空间称为相空间，积分曲线在相空间中的投影称为轨线，对于驻定微分方程组（1.6），方程组f（y）=0的解y=y*表示相空间中的点，它满足微分方程组，故称为平衡解（驻定解、常数解），又称为奇点（平衡点）．
②对平面一阶驻定微分方程组

　　　　　　（1.7）
其相空间（x，y）又称为相平面．驻定方程的积分曲线有特殊的性质：时间轴t的平移不影响方向场，即可以在空间（x，y，t）将方程的积分曲线投影到（x，y）平面上，方程组（1.7）变为

其在xOy平面上的积分曲线即为方程组（1.7）的轨线．
③可应用等倾斜线方法确定轨线的方向，其中相平面上满足f（x，y）=0的曲线表示轨线的x方向变化为0，称为垂直等倾斜线，过曲线上的点的轨线的切线垂直于x坐标轴；而g（x，y）=0的曲线称为水平等倾斜线，过曲线上的点的轨线的切线平行于x坐标轴．垂直等倾斜线与水平等倾斜线的交点（x0 ，y0）为奇点，方程有解x（t）= x0，y（t）= y0．
2．雅可比矩阵与函数相关性
（1）雅可比矩阵
①对

，定义雅可比矩阵为

，
当n=m时，称雅可比矩阵对应的行列式为雅可比行列式，记为

。
②对方程F（x1，x2，．．．，xn，y）=0，如果在满足方程的点的邻域内

存在、连续且不为零，则存在过该点的有一阶连续偏导数的解y=y（x1，x2，．．．，xn），且

③对方程

（x1，．．．，xn，y1，．．．，ym）=0（i=1，2，．．．，m），如果在满足方程的点的邻域内，其雅可比行列式

存在、连续且不为零，则存在过该点的有一阶连续偏导数的解yi=yi（x1，x2，…，xn）（i=1，2，…，m），且

（2）函数相关性
①设函数yi=fi（x1，x2，…，xn）（i=1，2，…，m）及其一阶偏导数在某开集D

R上连续，在D内, 如果f1，f2，...，fm中的一个函数能表示成其余函数的函数，则称它们在D内函数相关；如果它们在D内的任何点的邻域内皆非函数相关，则称它们在D内函数无关，或称它们彼此独立．
②如果雅可比矩阵

在D内的任何点上的秩皆小于m，则f1，f2，…，fm函数相关；如秩皆为m，则f1，f2，…，fm函数无关，即彼此独立；当n=m时，可求其雅可比行列式，雅可比行列式不为零时函数彼此独立．
3．常微分方程的发展历史
（1）常微分方程的发展初期
发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解，属于“求通解”时代．
①莱布尼茨（Leibniz）曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题；
②欧拉（Euler）则试图用积分因子统一处理．
（2）常微分方程的“求定解”时代
早期的常微分方程的求解热潮被刘维尔（Liouville）于1841年证明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中断．加上柯西（Cauchv）初值问题的提出，常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代．
（3）常微分方程的“求所有解”时代
19世纪末，天体力学中的太阳系稳定性问题需研究常微分方程解的大范围性态，从而使常微分方程的研究从“求定解问题”转向“求所有解”的新时代．
（4）常微分方程的“求特殊解”时代
20世纪六七十年代以后，常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期，从“求所有解”转入“求特殊解”时代，发现了具有新性质的特殊的解和方程等．

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