2018年考研数学（二）考试大纲解析

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内容简介
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第1部分　高等数学
　第1章　函数　极限　连续
　第2章　一元函数微分学
　第3章　一元函数积分学
　第4章　多元函数微积分学
　第5章　常微分方程
第2部分　线性代数
　第1章　行列式
　第2章　矩　阵
　第3章　向　量
　第4章　线性方程组
　第5章　矩阵的特征值和特征向量
　第6章　二次型
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内容预览
第1部分　高等数学
第1章　函数　极限　连续
一、函数
1．函数的概念
设数集D

R，则称映射

为定义在D上的函数，简记为

，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域．记作

，即

．函数值

的全体所构成的集合称为函数

的值域，记作

或

，即

．
2．函数的表示法
表格法、图形法、解析法（公式法）
二、函数的性质
1．有界性
（1）上界：若

，对

有

，则称函数f（x）在Ｉ上有上界，而

称为函数f（x）在Ｉ上的一个上界．
（2）下界：若

，对

有

，则称函数f（x）在Ｉ上有下界，而

称为函数f（x）在Ｉ上的一个下界．
（3）有界：若对??x∈I，??M＞0，总有

，则称f（x）在I上有界．
2．单调性
（1）单调递增：当

时，

．
（2）单调递减：当

时，

．
3．周期性
（1）定义：f（x＋T）＝f（x）（T为正数）．
（2）最小正周期：函数所有周期中最小的周期称为最小正周期．
4．奇偶性
f（x）的定义域关于原点对称，则
（1）偶函数：f（－x）＝f（x），图形关于y轴对称．
（2）奇函数：f（－x）＝－f（x），图形关于原点对称．
三、特殊函数
1．复合函数
形如y＝f（u）（其中u＝g（x））的函数称为复合函数．复合函数要注意其定义域．
2．分段函数
对于自变量x的不同取值范围，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数．
3．反函数
（1）定义
设函数f：D→f（D）是单射，则它存在逆映射

，映射

称为函数

的反函数．
（2）性质
①当

在D上是单调递增函数，

在f（D）上也是单调递增函数；
②当

在D上是单调递减函数，

在f（D）上也是单调递减函数；
③

的图像和

的图像关于直线y＝x对称．
4．隐函数
如果变量ｘ，ｙ满足一个方程

，在一定条件下，当ｘ取区间I任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的ｙ存在，则称方程

在区间I确定了一个隐函数．
四、初等函数
1．基本初等函数的性质和图像
（1）幂函数
表1-1　幂函数的性质和图像

幂函数
定义域	使 有意义的全体实数构成的集合
当n＞0时	图象过点（0，0）和（1，1），在区间 上是增函数
当n＜0时	图象过点（1，1），在区间 上是减函数
图像

（2）指数函数
表1-2　指数函数的性质和图像

指数函数
定义域	R
值域
过定点	（0，1）
当a＞1时	在R单调递增
当0＜a＜1时	在R上单调递减
图像

（3）对数函数
表1-3　对数函数的性质和图像

对数函数
定义域
值域	R
过定点	（1，0）
当a＝e时
当a＞1时	是 上的增函数
当0＜a＜1时	是 上的减函数
反函数	y＝ax
运算公式
图像

（4）三角函数
表1-4　三角函数的性质和图像

三角函数	y＝sinx	y＝cosx	y＝tanx
图像
单调性	递减   递增	递减   递增	递增
定义域	R	R
值域			R
最小  正周期
最值			无
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数
对称中心
对称轴			无

（5）反三角函数
表1-5　反三角函数的性质和图像



2．初等函数定义
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．
五、极限
表1-6极限

	数列	函数
极限定义
收敛	极限a存在	极限A存在
发散	极限a不存在	极限A不存在
左极限
右极限
极限存在和左、右极限的关系
极限的性质	（1）唯一性  如果数列收敛，则它的极限唯一．  （2）有界性  如果数列收敛，则数列一定有界．  （3）保号性  如果 且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有 ．  （4）收敛数列与其子数列间的关系  如果数列 收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a．	（1）唯一性  如果 存在，则这极限唯一．  （2）局部有界性  如果 则存在常数M＞0和 ，使得当 时，有 ．  （3）局部保号性  ①如果 且A＞0（或A＜0）  则存在常数 使得当 时，有     ②如果 ，则存在 的某一去心邻域   当 时，有
极限的四则运算	如果 则  （1）   （2）   （3）当 ，且B≠0时，
极限存在两个准则	（1）夹逼准则  若存在N，当n＞N时，   ，且   ，则 存在，且等于a．  （2）单调有界准则  单调有界数列必有极限．
两个重要极限

六、无穷小与无穷大
1．无穷小
当

（或

）时，函数f（x）的极限为零，则函数f（x）称为当

（或

）时的无穷小．
2．无穷大
若

（或

），则f（x）称为x→x0（或x→∞）时的无穷大．
3．无穷小的比较
设α、β是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，则：
（1）高阶无穷小：如果

，则就说β是比α高阶的无穷小，记作

．
（2）低阶无穷小：如果

，则就说β是比α低阶的无穷小．
（3）同阶无穷小：如果

，则就说β与α是同阶无穷小．
（4）k阶无穷小：如果

，则就说β是关于α的k阶无穷小．
（5）等价无穷小：如果

，则就说β与α是等价无穷小，记作

．
4．一些常用的等价无穷小量

七、函数连续性与间断点
1．函数的连续性
设函数y＝f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果

则称函数y＝f（x）在点x0连续．
2．左连续与右连续
（1）左连续
如果

存在且等于f（x0），即

，则称函数f（x）在点x0左连续．
（2）右连续
如果

存在且等于f（x0），即

，则称函数f（x）在点x0右连续．
3．间断点
（1）函数间断点的定义
函数f（x）在点x0处不连续，则称点x0为函数f（x）的不连续点或间断点．如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限

及右极限

都存在，则x0称为函数f（x）的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．
（2）函数间断点的类型
①第一类间断点
a．可去间断点在间断点函数左右极限相等．
b．跳跃间断点在间断点函数左右极限不相等．
②第二类间断点
a．无穷间断点在间断点函数极限为无穷大（无穷小）．
b．振荡间断点在间断点函数值在一个区间变化．
八、连续函数的性质和初等函数的连续性
1．连续函数的和、差、积、商的连续性
设函数f（x）和g（x）在点x0连续，则它们的和（差）

积

及商

（当

时）都在点x0连续．
2．反函数与复合函数的连续性
（1）反函数的连续性
如果函数

在区间

上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数

也在对应的区间

上单调增加（或单调减少）且连续．
（2）复合函数的连续性
①定理1
设函数

由函数

与函数

复合而成

若

，而函数

连续，则

②定理2
设函数

是由函数

与函数

复合而成，

．若函数

在

连续，且

，而函数

在

连续，则复合函数

在

也连续．
3．初等函数的连续性
（1）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．
（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
注：定义区间，就是包含在定义域内的区间．
4、闭区间上连续函数的性质
（1）最大值、最小值定理
①定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．
②最大值
对于在区间I上有定义的函数f（x），如果有

，使得对于任一

都有

则称

是函数f（x）在区间I上的最大值．
③最小值
对于在区间I上有定义的函数f（x），如果有

，使得对于任一

都有

则称

是函数f（x）在区间I上的最小值．
（2）零点定理
①零点
如果存在

，则

即为函数f（x）的零点．
②零点定理
设函数f（x）在闭区间

上连续，且f（a）与f（b）异号（即

），则在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使

．
（3）介值定理
设函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且在区间的端点取不同的函数值

则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得


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