孟道骥《高等代数与解析几何》（第3版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
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第1章　多项式
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　　第1节　数　域
　　第2节　一元多项式
　　第3节　带余除法
　　第4节　最大公因式
　　第5节　因式分解
　　第6节　导数，重因式
　　第7节　多项式的根
　　第8节　有理系数多项式
　　第9节　多元多项式
　　第10节　例
　1.3　名校考研真题详解
第2章　行列式
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　　第1节　矩　阵
　　第2节　行列式
　　第3节　行列式的性质
　　第4节　行列式的完全展开
　　第5节　Cramer法则
　　第6节　例
　2.3　名校考研真题详解
第3章　矩　阵
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　　第1节　矩阵的运算
　　第2节　可逆矩阵
　　第3节　矩阵的分块
　　第4节　矩阵的初等变换与初等矩阵
　　第5节　线性方程组
　　第6节　例
　3.3　名校考研真题详解
第4章　线性空间
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　　第1节　向量及其线性运算
　　第2节　坐标系
　　第3节　线性空间的定义
　　第4节　线性相关，线性无关
　　第5节　秩，维数与基
　　第6节　矩阵的秩
　　第7节　线性方程组
　　第8节　坐标与基变换
　　第9节　子空间
　　第10节　商空间
　　第11节　线性空间的同态与同构
　4.3　名校考研真题详解
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  本书是孟道骥主编的《高等代数与解析几何》（第3版）（上册）的配套电子书，主要包括以下内容：
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内容预览
第1章　多项式
1.1　复习笔记
一、数域
1．四则运算
分别用N，Z，Q，R与C表示自然数、整数、有理数、实数与复数的集合．有

在复数集C中有加法、减法、乘法与除法四种运算，称为四则运算．
2．封闭
设P是C的一个子集．
（1）P对加法封闭

，则称P对加法封闭．
（2）P对减法封闭

则称P对减法封闭．
（3）P对乘法封闭

则称P对乘法封闭．
（4）P对除法封闭

则称P对除法封闭．
注：（1）N对加法与乘法封闭，但对减法与除法不封闭．
（2）Z对加法、减法与乘法封闭，但对除法不封闭．
（3）Q，R，C对加、减、乘、除法都封闭．
（4）用数学语言说明C的子集P对除法不封闭：存在(以后用符号“

”表示)a，b∈P，b≠0使得a／b?P．
3．数域
（1）定义
复数集C的子集P，如果满足下面两个条件：
①

；
②P对四则运算都封闭，
则称为一个数域．
注：Q，R，C都是数域，分别称为有理数域、实数域、复数域．
（2）相关定理
①若P是一个数域，则

特别地，0、1∈P．
　 ②若数域

则P＝C．
二、一元多项式
1．一元多项式
设P是一个数域，x是一个文字（符号）．
（1）定义
设n是一个非负整数，

，称形式表达式

为系数在数域P中的一元多项式(简称数域P上的一元多项式，更简单地称多项式)．
（2）一元多项式的项与系数
①

(令

)称为该多项式的i次项，

称为i次项的系数；
②

又称常数项；
③若an≠0，则称

为首项(最高项)，

为首项系数，而n称为该多项式的次数．
（3）零多项式
若多项式中各项系数全为零，则称此多项式为零多项式，记为0．不规定零多项式的次数．
注：①也有规定零多项式0的次数为－∞的．
②n＝0时，a0∈P，又称P上的多项式．
（4）多项式的次数
用f(x)，g(x)或f，g等表示多项式．若f(x)≠0，则记f(x)的次数为degf(x)．
（5）一元多项式集合
P上所有以x为文字的一元多项式集合记为P[x]．特别地，

．
2．多项式相等
（1）定义
P[x]中两个多项式


称为相等，如果它们的各项系数都相等，即

此时记为

（2）性质
若f(x)≠0且f(x)＝g(x)，则degf(x)＝degg(x)．
3．多项式的运算
（1）加法运算
①和的定义
P[x]中多项式

的和定义为

序列

中只有有限项不为零，故f(x)＋g(x)仍为多项式．
注：写一个多项式

时，经常把系数为零的项省去．
②加法运算律
a．交换律：

b．结合律：

c．

d．设

，记

则

e．

（2）减法运算
①差的定义
P[x]中多项式f(x)，g(x)的差定义为

如果

，则

②减法运算律

（3）乘法运算
①积的定义
P[x]中多项式

的积定义为

如果记

则

注：如果degf(x)＝m，即

i＞m；degg(x)＝n，即

j＞n．于是，k＞m＋n时，若i＋j＝k，则必有i＞m，或j＞n．于是

因而


所以

．
②乘法运算律
a．交换律：

b．结合律：

c．

d．


（4）乘法与加法之间的分配律

4．多项式的运算与次数之间的关系
多项式的运算与次数之间有下面的关系

由第二个关系立即得到下面结果

三、带余除法
1．带余除法
设P是一个数域．

,且

．如果

，满足下面条件：
（1）

；
（2）

．
则称q(x)是g(x)除f(x)的商(式)，r(x)为g(x)除f(x)的余(式)，f(x)、g(x)分别称为被除式、除式．
2．综合除法
若

g(x)＝x－a，则余式r∈P．商式

此时有下面关系式

特别地

则可用下表算出q(x)的各项系数与r

3．定理
设

，且

．则f(x)除以g(x)的商式与余式存在唯一．
4．同余
设

，且

．如果g(x)除

的余式相同，则称

模g(x)同余，记作

否则，称

模g(x)非同余，记作

5．整除
（1）整除的概念
设

，且

．若g(x)除f(x)的余式为0，则称g(x)能整除f(x)．此时，称g(x)为f(x)的因式，f(x)为g(x)的倍式，记为g(x)|f(x)．
g(x)整除f(x)(g(x)|f(x))，即存在q(x)∈P[x]，使得

注：g(x)除0的余式为0，故g(x)|f(x)，也就是f(x)与0模g(x)同余，即

（2）整除的性质
①

当且仅当

②设

则

③

有c|f(x)．
④设

，且f(x)≠0，g(x)≠0，则f(x)|g(x)，g(x)|f(x)的充分必要条件是存在c∈P，c≠0，使得f(x)＝cg(x)．
⑤若

则

，有

⑥设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，g(x)≠0，h(x)≠0．若h(x)|g(x)，g(x)|f(x)，则h(x)|f(x)．
⑦设

都是数域，且

．又设

,

，则g(x)除f(x)在P[x]中的商式q(x)与余式r(x)也是g(x)除f(x)在

中的商式与余式．因而，在P[x]中，g(x)|f(x)当且仅当在

中，g(x)|f(x)．
四、最大公因式
1．公因式的概念
设P是一个数域，h(x)，f(x)，g(x)∈P[x]．如果h(x)既是f(x)的因式，又是g(x)的因式，即

则称h(x)为f(x)与g(x)的公因式．
2．最大公因式
（1）定义
若d(x)，f(x)，g(x)∈P[x]，且d(x)≠0．如果d(x)满足下面两条件：
①d(x)|f(x)，d(x)|g(x)；
②若h(x)|f(x)，h(x)|g(x)，则h(x)|d(x)，则称d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式．
（2）性质
①若d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，则

为f(x)与g(x)的最大公因式当且仅当

c∈P，c≠0．
②设h(x)，d(x)分别是f(x)，g(x)的公因式，最大公因式．则

当且仅当h(x)也是最大公因式时等号成立．
③若g(x)|f(x)，则g(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式．
（3）首一多项式
f(x)，g(x)的最大公因式中，首项系数为1的最大公因式称为首一多项式，记为

3．辗转相除法解题步骤
（1）以g(x)除f(x)得余式r(x)；
（2）r(x)≠0，以r(x)除g(x)得余式

（3）

则r(x)为最大公因式，

以

除r(x)得余式

写成数学表达式

（4）当

即

即为f(x)与g(x)的最大公因式，且

（5）将

换成

与

的组合，……，依次下去，

可表示为f(x)与g(x)的组合，再除以

的首项系数即可．一般用下面形式表示

4．多项式互素
设f(x)，g(x)∈P[x]．如果

则称f(x)与g(x)互素．
注：如果f(x)，g(x)互素，则f(x)，g(x)的任何公因式都是非零常数．反之也成立．
5．有限多个多项式的最大公因式
设

d(x)∈P[x]．如果d(x)满足下面两个条件：
（1）

（2）若

则h(x)|d(x)；
则称d(x)为

的最大公因式．
6．相关定理与推论
（1）P[x]中两个非零多项式f(x)，g(x)的最大公因式(f(x)，g(x))存在，且为f(x)与g(x)的组合．
（2）设f(x)，g(x)∈P[x]，则f(x)与g(x)互素的充分必要条件是存在u(x)，v(x)∈P[x]使得

（3）设f(x)，g(x)，h(x)∈P[x]，且

则

（4）设

则：
①

存在，且

②

是

的组合；
③

(称

互素)的充分必要条件是存在

使得

7．引理
设f(x)除以g(x)的余式，商式分别为r(x)，q(x)．又(g(x)，r(x))存在，则(f(x)，g(x))存在，且

8．推论
（1）设f(x)除以g(x)的余式为r(x)，且r(x)|g(x)．则r(x)为f(x)与g(x)的最大公因式．
（2）设

且

则

五、因式分解
1．不可约多项式
（1）定义
　 数域P上多项式p(x)(degp(x)≥1)如果不能表示为P[x]中两个次数小于degp(x)的多项式的乘积，则称p(x)为P[x]中不可约多项式．
注：如果f(x)∈P[x]，存在

i＝1，2，使得

则称f(x)是P[x]中可约多项式．
（2）性质
①p(x)∈P[x]，degp(x)＝1，则p(x)不可约；
②p(x)，f(x)∈P[x]，且p(x)不可约．则(p(x)，f(x))＝1，或

(c为p(x)的首项系数)．后一情况成立当且仅当p(x)|f(x)；
③设

且p(x)不可约．若

则存在i，使得

2．因式分解及唯一性定理
设P是一个数域，又f(x)∈P[x]，degf(x)＞0．则f(x)可以分解为p[x]中不可约多项式的乘积

如果f(x)还有另一种分解

则s＝t且经过适当排列后有

3．标准分解
设

为首一不可约多项式，对于f(x)∈P[x]，degf(x)≥1有分解

其中c为f(x)的首项系数；i≠j时，

则称这种分解为f(x)的标准分解．
注：对任何f(x)∈P[x]，f(x)≠0，约定

4．定理
设f(x)，g(x)∈P[x]，且不为0，又

分别为f(x)，g(x)的标准分解，则

六、导数，重因式
1．导数（微商）
（1）定义
设

．称多项式

为f(x)的导数（微商），记为

或

（2）性质
①degf(x)≥1时，

②

当且仅当f(x)＝c∈P；
③

④c∈P，则

⑤

⑥

⑦若p(x)不可约，则

．
2.k重因式
（1）定义
如果p(x)k|f(x)，而

，称不可约多项式p(x)为多项式f(x)的k重因式；
又称

恰整除f(x)，并记为

　 注：①k＝0时，p(x)不是f(x)的因式；
②k＝1时，p(x)是f(x)的单因式；
③k≥2时，p(x)是f(x)的重因式．
（2）相关定理
①若不可约多项式p(x)是f(x)的一个k(≥1)重因式，则p(x)为

的k－1重因式．
②P[x]中多项式f(x)的标准分解为

其中

为首一不可约多项式，

则



（3）推论
①记


称

为f(x)的k阶导数．如果p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是

的因式，但不是

的因式．
②不可约多项式p(x)为f(x)的重因式当且仅当

③f(x)无重因式当且仅当

七、多项式的根
1．中国剩余定理
多项式

除以x－a的余式为

．此结果称为中国剩余定理．
2．多项式函数
（1）定义
对一个固定的多项式f(x)，建立一个P到P的映射：

．得到一个函数，称为P上的多项式函数，记为f(x)，而f(a)称为 f(x)在a处的值．
（2）性质
①f(a)＝0当且仅当x－a|f(x)；
②若


则

（3）零点
如果f(x)在a处的值为0，即f(a)＝0，称a为f(x)的零点，又称a为多项式方程

的根．
（4）重根
如果x－a是f(x)的k(≥0)重因式，则称a为f(x)的k重根；k＝0，a不是根；k＝1，a称为单根；k＞1，a称为重根．
（5）定理
P[x]中n(≥0)次多项式至多n个根，其中k重根算k个根．
（6）推论
设f(x)，g(x)∈P[x]，且

又

是P中n＋1个不同的数，且

则f(x)＝g(x)．
3．代数学基本定理
（1）定理
设f(x)∈C[x]，且degf(x)≥1，则f(x)在C中有根．即

，使f(a)＝0．
（2）定理等价形式
①若f(x)∈C[x]，degf(x)≥1，则f(x)有一次因式；
②f(x)∈C[x]，f(x)不可约当且仅当degf(x)＝1；
③n次复系数多项式在C中恰有n个根(k重根算k个根)．
（3）引理
若f(x)∈R[x]，a∈C为f(x)的根，则a的共轭数

也是f(x)的根．
4．复系数多项式因式分解定理
若

则f(x)有分解

a为f(x)的首项系数，

5．实系数多项式因式分解定理
设f(x)∈R[x]，且degf(x)≥1，则f(x)的标准分解为

其中a为首项系数，

6.Lagrange插值公式
设

且i≠j时，

令

则P[x]中多项式

　(1-1)
满足

公式(1-1)称为Lagrange插值公式．
八、有理系数多项式
以Z[x]表示所有整系数的一元多项式的集合，Z[x]对加法、减法及乘法封闭．
1．可分解
设f(x)∈Z[x]，若存在

使得

则称f(x)是可分解的，否则称f(x)是不可分解的．
2．容度
设f(x)∈Z[x]，f(x)的各项系数的最大公约数称为f(x)的容度，记为c(f)．
3．本原多项式
（1）定义
若c(f)＝1，则称f(x)为本原多项式．
（2）引理
设f(x)∈Q[x]，则存在r∈Q与本原多项式g(x)使f(x)＝rg(x)，而且r与g(x)除正负号外是唯一的．
4．相关定理
（1）本原多项式的积是本原的．
（2设f(x)∈Q[x]，f(x)＝rg(x)，其中r∈Q，g(x)是本原的．则f(x)不可约(可约)当且仅当g(x)是不可分解(可分解)的．
（3）设

r，s∈Z，(r,s)＝1．如果r/s是f(x)的根，则

（4）（Eisenstein判别法）设

若有素数p使得

则f(x)是Q[x]中不可约多项式．
5．推论
（1）设f(x)∈Z[x]，且



则有

使得

且

（2）设f(x)，g(x)∈Z[x]，且g(x)是本原的，又h(x)∈Q[x]．如果f(x)＝g(x)h(x)，则h(x)∈Z[x]．
（3）f(x)是首一的整系数多项式，则f(x)的有理根为整数，且为f(x)的常数项的因子．
（4）

中一定有n次不可约多项式．
（5）n≥2，P为素数，则

是无理数．
九、多元多项式
1．单项式概念
设P是一个数域，

是n个文字，

为非负整数，

称

为(P上)单项式，

称为此单项式的系数，

称为此单项式的次数．
2．同类项
两个单项式

称为同类的(同类项)，如果

3.n元多项式
（1）定义
有限个单项式的和

称为n元多项式(又简称为多项式)．
注：数域P上所有以

为文字的n元多项式的集合记为

（2）次数
当一个多项式表示成一些不同类的单项式的和之后，其中非零单项式的次数的最大值称为这个多项式的次数．

其次数记为degf．
（3）f先于g
设a，b∈P，ab≠0．单项式

如果有

则称单项式f在单项式g之前(或f先于g)．
注：按字典排列法写出的第一个非零单项式称为此多项式的首项．
4.m次齐次多项式
（1）定义
如果多项式

中每个单项式都是m次的(即

)则称

为m次齐次多项式．
（2）齐次分量
设

则有唯一的i次齐次多项式

0≤i≤m使得

(其中某些

可以是零)．则fi称为f的i次齐次分量．
5．定理
设f，

f≠0，g≠0．则有以下结果：
（1）fg的首项是f的首项与g的首项的积；
（2）deg(fg)＝degf＋degg；
（3）

6．对称多项式
（1）定义
设

如果对1，2，．．，n的任何排列

有

则称

是对称多项式．
（2）两类重要的齐次对称多项式
①Newton等幂和

对k＞0，

首项为

②初等对称多项式





的次数为k，首项为

（3）性质
①若f，g是对称多项式，则f±g，fg也是对称多项式；
②若f，g是对称多项式，且g≠0又有多项式h使f＝gh，则h也是对称的；
③对称多项式的齐次分量也是对称的；
④若

是对称多项式f的首项，则

；
⑤设

则

的首项为

；
⑥

与

有相同的首项当且仅当

7．对称多项式基本定理
设f是

的对称多项式，则有唯一的n元多项式

使得


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