北京大学数学系《高等代数》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第1章　多项式
　1.1　复习笔记
　1.2　课后习题详解
　1.3　名校考研真题详解
第2章　行列式
　2.1　复习笔记
　2.2　课后习题详解
　2.3　名校考研真题详解
第3章　线性方程组
　3.1　复习笔记
　3.2　课后习题详解
　3.3　名校考研真题详解
第4章　矩　阵
　4.1　复习笔记
　4.2　课后习题详解
　4.3　名校考研真题详解
第5章　二次型
　5.1　复习笔记
　5.2　课后习题详解
　5.3　名校考研真题详解
第6章　线性空间
　6.1　复习笔记
　6.2　课后习题详解
　6.3　名校考研真题详解
第7章　线性变换
　7.1　复习笔记
　7.2　课后习题详解
　7.3　名校考研真题详解
第8章　λ-矩阵
　8.1　复习笔记
　8.2　课后习题详解
　8.3　名校考研真题详解
第9章　欧几里得空间
　9.1　复习笔记
　9.2　课后习题详解
　9.3　名校考研真题详解
第10章　双线性函数与辛空间
　10.1　复习笔记
　10.2　课后习题详解
　10.3　名校考研真题详解
总习题解答
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


北京大学数学系主编的《高等代数》（第4版）是我国高校数学类广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。
为了帮助参加研究生入学考试指定参考书目为北京大学数学系主编的《高等代数》（第4版）的考生复习专业课，我们根据该教材的教学大纲和名校考研真题的命题规律精心编写了北京大学数学系《高等代数》（第4版）辅导用书（均提供免费下载，免费升级）：北京大学数学系《高等代数》（第4版）笔记和课后习题（含考研真题）详解
本书是北京大学数学系主编的《高等代数》（第4版）的配套电子书，主要包括以下内容：
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（2）详解课后习题，巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料，对北京大学数学系主编的《高等代数》（第4版）的课后习题和补充题进行了详细的分析和解答，并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。
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内容预览
第1章　多项式
1.1　复习笔记
一、数域
1．定义
设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域．
全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域，这三个数域我们分别用字母Q，R，C来代表．全体整数组成的集合不是数域，因为不是任意两个整数的商都是整数．
2．性质
（1）如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，就说数集P对这个运算是封闭的．
（2）数域的等价定义：如果一个包含0，l在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法（除数不为0）是封闭的，那么P就称为一个数域．
二、一元多项式
1．多项式定义
（1）多项式
设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式

…

，
其中a0，a1，…，an全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．
在多项式中，aixi称为i次项，ai称为i次项的系数，我们常用f（x），g（x），…或f，g，…来代表多项式．
注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式，当符号是未知数时，它是中学所学代数中的多项式，这个符号还可代表其他待定事物．
（2）零多项式
如果在多项式f（x）与g（x）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么，就称f（x）与g（x）相等，记为
f（x）＝g（x）
系数全为零的多项式称为零多项式，记为0．
在多项式

…

中，如果an≠0，那么anxn称为多项式的首项，an称为首项系数，n称为多项式的次数，零多项式是唯一不定义次数的多项式．多项式f（x）的次数记为：

．
注意：因为零多项式不定义次数，所以用符号

时，总是假定

．
（3）一元多形式环
所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．
2．多项式的运算
（1）运算的定义
设

…

，

…

是数域P上两个多项式．那么可以写成


①和运算：在表示多项式f（x）与g（x）的和时，如n≥m，在g（x）中令bn＝bn-1＝…＝bm＋1＝0．那么，f（x）与g（x）的和为

②积运算：f（x）与g（x）的乘积为

其中s次项的系数是

所以f（x）g（x）可表成

数域P上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式．
注：①对于多项式的加减法

②对于多项式的乘法，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的成积；如果f（x）≠0，g（x）≠0，那么f（x）g（x）≠0，并且

．
（2）多项式的运算规律
①加法交换律：f（x）＋g（x）＝g（x）＋f（x）
②加法结合律：（f（x）＋g（x））＋h（x）＝f（x）＋（g（x）＋h（x））
③乘法交换律：f（x）g（x）＝g（x）f（x）
④乘法结合律：（f（x）g（x））h（x）＝f（x）（g（x）h（x））
⑤乘法对加法的分配律：f（x）（g（x）＋h（x））＝f（x）g（x）＋f（x）h（x）
⑥乘法消去律：如果f（x）g（x）＝f（x）h（x）且f（x）≠0，那么g（x）＝h（x）．
三、整除的概念
1．带余除法定义
对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中

或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是唯一决定的．
带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．
2．整除定义
数域P上的多项式g（x）称为整除f（x），如果有数域P上的多项式h（x）使等式
f（x）＝g（x）h（x）成立．就用“g（x）丨f（x）”表示g（x）整除f（x），用“g（x）

f（x）”表示g（x）不能整除f（x）．
当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．
3．整除性的判别
对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．
注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．
4．整除性的几个常用的性质
（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；
（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；
（3）如果f（x）丨gi（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）gl（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋ur（x）gr（x）），其中ui（x）是常数域P上任意的多项式．
四、最大公因式
1．公因式定义
如果多项式

既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么

就称为f（x）与g（x）的一个公因式．
2．最大公因式
（1）定义
设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，P[x]中多项式d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：
①d（x）是f（x），g（x）的公因式；
②f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式．
如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．
（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使
d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）
可用辗转相除法来求最大公因式．
注意：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的．
3．多项式互素
（1）定义
P[x]中两个多项式f（x），g（x）称为互素（又称互质）的，如果（f（x），g（x））＝1．
（2）性质
①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1．
②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）．
③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）．
五、因式分解定理
1．不可约多项式
（1）定义
数域P上次数≥l的多项式p（x）称为域P上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积．
按照定义，一次多项式总是不可约多项式．
（2）重要性质
①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p（x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．
②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，fs（x）的乘积f1（x），f2（x），…，fs（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．
2．因式分解及唯一性定理
（1）唯一性定理
数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．而唯一性是说，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…ps（x）＝q1（x）q2（x）…qs（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有pi（x）＝ciqi（x），i＝1，2，…，s，其中ci（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．
注意：对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的．
（2）因式分解
在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并于是f（x）的分解式成为

其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，ps（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，rs是正整数这种分解式称为标准分解式．
六、重因式
1．定义
不可约多项式p（x）称为f（x）的k重因式．如果

，而

．
如果k＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式；如果k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式；如果k＞1，那么p（x）称为f（x）的重因式．
2．重因式的判别
（1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商

的k－1重因式．
（2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要条件为p（x）是f（x）与

的公因式．
（3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与

互素．
七、多项式函数
1．定义
设
f（x）＝anxn＋an-1xn-1＋…＋a1x＋a0　（1）
是P[x]中的多项式，α是P中的数，在（1）中用α代替x所得的数anan＋an-1an-1＋…＋a1a＋a0称为f（x）当x＝α时的值，记为f（α）．这样，多项式f（x）就定义了一个数域P上的函数，称为数域P上的多项式函数．
2．常用定理
（1）余数定理
用一次多项式x－α去除多项式f（x），所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f（α）．
推论：α是f（x）的根的充分必要条件是（x－α）丨f（x）．
（2）定理
P[x]中n次多项式（n≥0）在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算．
（3）定理
如果多项式f（x），g（x）的次数都不超过n，而它们对n＋1个不同的数α1，α2，…，αn＋1有相同的值，即f（αi）＝g（αi），i＝1，2，…，n＋1，那么，f（x）＝g（x）．
八、复系数与实系数多项式的因式分解
1．代数基本定理
每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根．
2．复系数多项式因式分解定理
每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积．复系数多项式具有标准分解式

其中α1，α2，…，αs是不同的复数，l1，l2，…，ls是正整数．标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）．
3．实系数多项式因式分解定理
每个次数≥l的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．
九、有理系数多项式
每个次数≥1的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理数系数多项式的乘积．
1．本原多项式
如果一个非零的整系数多项式

的系数bn，bn-1，…，b0没有异于±l的公因子，即它们是互素的，它就称为一个本原多项式．
2．高斯引理
两个本原多项式的乘积还是本原多项式．
3．定理
如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
4．定理
设

是一个整系数多项式，而

是它的一个有理根，其中r，s互素，那么必有

．特别地，如果f（x）的首项系数an＝1，那么f（x）的有理根都是整根，而且是a0的因子．
5．定理（艾森斯坦判别法）
设

是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得

，

，

．那么f（x）在有理数域上是不可约的．
十、多元多项式
1．多元多项式定义
设P是一个数域．x1，x2，…，xn是n个文字形式为

的式子，其中

属于P，k1，k2，…，kn是非负整数，称为一个单项式，如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项．一些单项式的和

，就称为n元多项式，或者简称多项式．
2.n元多项式环的定义
所有系数在数域P中的n元多项式的全体，称为数域P上的n元多项式环，记为

，k1＋k2＋…＋kn称为单项式的次数．当一个多项式表成一些不同类的单项式的和之后，其中系数不为零的单项式的最高次数就称为这个多项式的次数．
3．定理
当f（x1，x2，xn）≠0，g（x1，x2，，xn）≠0时，乘积f（x1，x2，，xn）g（x1，x2，，xn）的首项等于f（x1，x2，…，xn）的首项与g（x1，x2，…，xn）的首项的乘积．
4．两个推论
（1）如果fi≠0，i＝1，2，…，m，那么，f1f2…fm的首项等于每个fi的首项的乘积．
（2）如果f（x1，x2，…，xn）≠0，g（x1，x2，…，xn）≠0，那么

多项式

称为m次齐次多项式，如果其中每个单项式全是m次的．
5.i次齐次成分
任何一个m次多项式f（x1，x2，…，xn）都可以唯一地表示成

其中fi（x1，x2，…，xn）是i次齐次多项式．fi（x1，x2，…，xn）称为（x1，x2，…，xn）的i次齐次成分．
注意：对于多元多项式，也有乘积的次数等于因子次数的和．
十一、对称多项式
1．对称多项式的定义
n元多项式f（x1，…，xn）．如果对于任意的i，j，1≤i＜j≤n，都有

那么这个多项式称为对称多项式．
2．定理
对于任意一个n元对称多项式f（x1，x2，…，xn），都有一个n元多项式φ（y1，y2，…，yn），使得


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