一个关于对易的问题

教主：
对易的具体含义是什么呀？我知道它的大概意思，但在数学上如何定义的呢？

Iceflame：
我的理解：数学上是指两个算符满足交换律，物理上是指两个算符分别作用在波函数上的结
果与顺序无关。

Cynical：
鉴于Dirac曾经说的他更倾向于认为不对易代数不是量子力学的本质，而波函数更能体现量
子化的本质。我的理解：不对易代数只是量子的数学描述。而数学中代数是一种很抽象的概
念，大多数情况下对一种关系的描述只要是完备的都可以称为一种代数。所以我认为矩阵力
学也应更加注意其物理本质。

Dionusos：
对易的具体含义是什么呀？我知道它的大概意思，但在数学上如何定义的呢？

数学上讲，你可以看矩阵的对易与不对易。每个力学量算符在一定的基下都有相应的矩阵与
之对应。所以，力学量对易与否与矩阵对易与否是对应的。

从物理上讲，以后学了你就知道了，力学量对易与否是很重要的，性质很不一样。比方说，
两个力学量对易就表明它们可以同时有准确的测量值，它们可以有共同的本征态等等。

Galois：
在量子力学中，算符之间的对易关系似乎非常重要。我们不禁要问：对易的本质究竟是什
么？

我们知道，对易或不对易，可以直接从算符在某一表象中所具有的矩阵形式看到。在这里头
有一个线索，即力学量的对易或者不对易，可以认为根源于这些力学量具有一种矩阵结
构。

矩阵结构是什么意思？比如，氢原子中的电子，其跃迁能谱可以由里德堡公式来给出，这里
头有两个参量，即初态和末态能级量子数。一个量联系着两个指标，这一定不是一种标量数
或矢量数（我们知道经典力学中物理量要么是标量数如能量，要么是矢量数，如三维位置和
动量）的结构。所以量子力学物理量一定是类似于矩阵的二阶张量结构。

由于量子力学的物理量具有矩阵结构，所以会出现某些力学量之间的对易或不对易，这似乎
是一条合理的路线。
而对易或不对易的物理本质，则是量子的力学量之间由于受到一种基本的限制（正比于
h ）而导致的它们能或者不能同时被确定下来。


教主：
若[F，G]=0，则[G，F]也为零。那么G的所有本征态都是F的本征态。然后如果G与H对
易，则G的所有本征态也是H的本征态，于是F与H有共同的一组本征态，即G的本征态。而G
的本征态是完备的，因此F与H有一组共同的完备本征态，那么岂不是F与H对易吗？ 我觉得
这样说肯定有问题，但我不知道问题出在那里。

Galois:
"若[F，G]=0，则[G，F]也为零。那么G的所有本征态都是F的本征态。"
两个算符对易，只能推出它们有一系列共同本征态，并不能推出一个算符的所有本征态全是
另一个算符的本征态，也就是说，你上面的说法中“G的所有本征态都是F的本征态”错了。举
个例子，l^2 与 lz 对易，但是 l^2与 lx 的共同本征态（也是l^2的本征态）就不是 lz 的本征
态。

教主：
如果F,G都不简并，那么由[F,G]=0，如果ψ是F的本征态，有
FGψ=GFψ=G(Fnψ)=Fn(Gψ)，由于F不简并，所以Gψ
与ψ相差一个常数因子。所以ψ也是G的本征态。
由于任选ψ，所以F的所有本征态都是G的本征态。
加上这个条件，F,G,H都不简并，那么
若[F，G]=0，则[G，F]也为零。那么G的所有本征态都是F的本征态。然后如果G与H对易，
则G的所有本征态也是H的本征态，于是F与H有共同的一组本征态，即G的本征态。而G的本
征态是完备的，因此F与H有一组共同的完备本征态

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