转贴：关于代数学的一些看法，学习实变，建模的心得

关于代数学的一些个人看法
2005-06-10       博士家园论坛    点击: 4840

关于代数学的一些个人看法
“近世代数讲完群环域以后就没再讲其他的东西，
后面还应该学习些什么知识，才可以继续深入研究下去”？

天涯明月刀：

这个问题的复杂程度不亚与代数学本身,我仅谈一下自己认识到的一些看法:

首先说明，认为近世代数讲完群环域以后就完全是其他更高级的东西的说法是不对的，近世代数中讲的仅仅是群 环 域的基本概念及引论，事实上它们每一种都有一门或几门学科分支，国内很多学校已经有这样的硕士，博士点，接下来的环与模范畴、同调代
数当然是最基本的。我来介绍一下我所接触的代数学：

我认为代数学是研究代数结构的，这有两层含义：
第一层含义是研究各种代数结构，从而就不仅是群 环 域，还有这些结构的各种子结构，弱结构和对这些结构的公理进行变形后得到的各种结构;第二层含义是通过各种途径研究这些代数结构，比如同调的方法，范畴论的方法,还有新近的量子化方法等等。

代数学有两种含义，广义的和狭义的。
广义的代数是指群,环,域等等(下面将要看到,这个等等是不寻常的)这些结构及研究他们的方法论的总和; 狭义的代数一般专指向量空间上定义了某种满足一些公理化条件的乘法后的这种结构,这个概念当然可以推广到模上。

下面列举我接触到的部分课程清单(个人观点,见识有限,分类当然不一定很科学和完整,请大家指正和补充):

基本理论: 群及其表示论

分支: 一般群论 拓扑群（连续群） 置换群及其应用 可解群 幂零群
典型群 有限群 李群 李型单群 高阶K-群 无限Ablel群
半群理论 Ellis半群 离散群 组合群论 (线性)代数群
群表示论(常表示与模表示) 等等


基本理论: 环与模范畴, 代数及其表示论,

分支: 一般环论 根论 正则环 局部环 非交换环 结合代数 非交换代数
分次环与模 有限维代数 可除代数 C*代数 算子代数
von Neumann代数 非交换多项式代数 (Ore代数) Artin代数及表示论
腔胞代数 Lie代数 无限维李代数 lie超代数 colored李代数
Kac-Moody代数 顶点算子代数 等等

一些有"名" 的代数:
Hecke代数 Clifford代数 tube代数 Boolean代数 Miscellaneous代数
Steenrod 代数 Azumaya代数 Frobienus代数 Jordan代数 loop代数
Yang-Mills代数 等等


基本理论: 域论与数论
相关: 有限域及其应用 迦罗瓦理论 赋值论
数论导引 解析数论基础 代数数论基础 丢番图分析 超越数论
模型式与模函数论 筛法 代数编码理论 积性数论 堆垒数论 等等

基本理论: Hopf代数
相关: Hopf代数 辫子Hopf代数 Hopf*代数 Hopf代数与量子群
Hopf-伽罗瓦扩张 局部紧量子群 等等


基本理论: 同调与上同调理论

相关: 交换代数 同调代数 代数K-理论 高维代数 A∞代数
循环同调 群与李群的上同调 Lie代数的上同调
Etale上同调 Hochschild同调与上同调 等等

基本理论: 范畴论及表示

相关: 阿贝尔范畴 n-范畴 双范畴(Hopf范畴) 等等


其他如 格论 泛代数 代数几何 非交换(代数)几何 组合矩阵论 代数图论
不再多说.
数学中是有一些老化的学科，也有些个别人故意增加条件把问题复杂化的事例，代数中有
，拓扑学也一样。但是整个理论（基础）数学不是没用的学问，代数学也是一样，历史证明也是如此。

伽罗瓦以前恐怕很少人认识到群，伽罗瓦用它解决了一般五次以上方程的根式不可解性，现
在群论已成为大部分数学家，物理学家的常识。

范畴论刚刚被提出时没有几个人会在乎，现在不仅大部分书采用了范畴的语言，甚至国外许
多大学的计算机系都设立了专门范畴论课程。同调论在代数几何中的巨大威力更是不必说；

Hopf代数从提出到八十年代初的停滞，谁也没有想到，Dinfeld仅仅添加了一个拟交换性的条件，就使它神奇般地和量子群的研究联系起来，并且找到了一大批统计物理中Yang-Baxter方程的解，他因此获得1990年东京数学家大会上的菲尔兹奖。

代数学好象没有绝对的主流，因为它是不断向前发展的，在不同的时期可能有不同的任务，我不知道当今代数学的主要任务是什么，因为没有整体的把握，但是一百年来代数学中的一个重大问题恰恰不是别的，而是分类问题。这方面的大事件有：

最早是复半单李代数的分类通过Dynkin图得到刻画，共有四大类和五种例外情况，一般的李代数书都有介绍，例如孟道骥的那本；

七十年代左右，Roiter和Auslander独立的证明了Brauer-Trall第一猜想，发展了路代数的方法，发现了几乎可裂序列，这被认为是现代代数表示论的开端；77年，Kac分类了李超代数；

八十年代初，规模庞大的有限单群的分类宣告完成，分为三个大类和26个零散单群，中国的段学复，张继平等作出了重要贡献；

九十年代以来,有限维Hopf代数的分类成为研究的热门，低维（< 40 阶）的分类基本完成，素数阶， pq 阶 ，2^m 阶的分类获得了较多的研究；一种针对点Hopf代数的新的分类方法已被提出,但是统一的分类纲领还没有形成。


天涯明月刀 再次声明，以上内容仅仅是其个人临时的不成熟的想法.

(已修改)

[ 本帖最后由 turn_ice 于 2008-7-29 15:04 编辑 ]

学习实变的一点心得
2004-10-01    yearnl       点击: 3619

学习实变的一点心得
重要性，废话少说。
一般常见的教材主要以三本为代表，北大周民强的，咱们用的江的，还有中科大徐森林的
那个。周的书，应该说最大的特点是以技巧为特长，很多定理的处理都是很有新意的，不
过我听了一下咱们01的课，感觉和这本书的路子差的有点远，因此看起来可能会有点不太
习惯，江的，多数都是实变最基础经典的理论内容，我比较提倡这本书，第一次学习的时
候，建议大家尝试证明书里的定理。我觉得如果数学分析扎实的话，多数定理自己都能证
出来。这两本书差距还是挺大的，举个例子。鲁辛定理（好象是这么叫吧）在江的书里只
证明了有限集的情况，但是周用技巧从完全不同的思路针对任意集合都证明了，实际上如
果处理一下江的证明也可以得到，但是复杂一些，远不如周的精练。不过这并不表示你应
该从周的书看起，因为那种技巧，第一，短时间（比如一两年）基本掌握不了，第二，技
巧这个东西容易使人误入歧途，实际那都是左道，对知识深刻稳重的理解才是最重要的。
所以我觉得，一定要把江的书吃透，达到每个定理都能背诵证明，都能理清成立条件，这
个是最重要的。在这个基础上，再去啃周的书作为提高，才是正常途径。很多学实变的同
学觉得最难的，并不是那些技巧，而是一些看起来似乎明显成立的命题。这就说明基础不
够扎实，很多定理都是想当然的以为可以应用，但是细节上则不是这样。对付这个，大家
最好能学学测度论，把测度建立在抽象集的基础上会更好的理解许多许多很细微的，学习
实测度容易忽略的地方上。徐的书就是直接讲抽象测度。但是据我中科大的朋友说，这本
书就是徐用周的讲义讲课，然后编编出来的。说实话，第一次看的时候觉得这么厚一本，
应该是高级作品，实际学完了就发现，完全是周的书加一本测度论，没有太多的创新。而
且我不提倡一上来就讲抽象测度，这样会非常容易混淆许多基础概念，尤其是他的书在集
类运算那并没有建立完善的理论，这样理解测度的扩张，就比较模糊，不如先学习外测度，
然后再理解来得好。elmo推荐的严加安的我觉得就很好，很薄，
许多细节他都忽略了，学的时候一定要自己补全，非常有意义的。习题也不太难。halmos
的GTM算是名著，但是太老了，已经不太适合学习了我看了第一章就还了。
习题，华中科技大学张喜糖出了一本习题集，相当全了，不过买了的话，容易偷懒：
）
再一个很多朋友都在借《实分析的反例》这本书，我朋友托我去借，到了北区人家一
看条就告诉我没有了，显然最近借的人很多。对于这本书，我觉得，有用，是本好书，但
是有多大用，就值得考虑了。我看过一半，感觉好象喝开水一样记不下多少例子。许多例
子的构造非常有技巧。我觉得这样的例子看的意义不大。因为，绝对不要以为从阅读反例
就能学会构造反例。反例的构造，需要你对基础知识非常透彻的了解，知道哪里有漏洞才
行，至于一些比较简单的反例，我觉得也不需要看书了。很多东西，你只要知道，有这么
个反例就足够了。现在没必要看那么多反例，多学学如何正面建立才是真的，实变不太好
学，时间比较紧，打基础最重要。大家可以上elmo的ftp上打印这个书的目录我看就差不多
了。结论吗。我可以告诉大家，如果一个命题你没有看到被证明过而你又不能肯定，那绝
对是一个错的。实函数的结构是非常极其复杂的。什么样的反例都能做出来。一般人想的
，都是错的。

数学建模之心得体会
2004-06-30    西南交通大学 刘盾       点击: 10613

数学建模之心得体会
     一年一度的全国数学建模大赛在今年的9 月22 日上午8 点拉开战幕，各队
将在3 天72 小时内对一个现实中的实际问题进行模型建立，求解和分析，确定
题目后，我们队三人分头行动，一人去图书馆查阅资料，一人在网上搜索相关信
息，一人建立模型，通过三人的努力，在前两天中建立出两个模型并编程求解，
经过艰苦的奋斗，终于在第三天完成了论文的写作，在这三天里我感触很深，现
将心得体会写出，希望与大家交流。
1. 团队精神：
团队精神是数学建模是否取得好成绩的最重要的因素，一队三个人要相互支
持，相互鼓励。切勿自己只管自己的一部分（数学好的只管建模，计算机好的只
管编程，写作好的只管论文写作），很多时候，一个人的思考是不全面的，只有
大家一起讨论才有可能把问题搞清楚，因此无论做任何板块，三个人要一起齐心
才行，只靠一个人的力量，要在三天之内写出一篇高水平的文章几乎是不可能的。
2. 有影响力的leader：
在比赛中，leader 是很重要的，他的作用就相当与计算机中的CPU，是全队
的核心，如果一个队的leader 不得力，往往影响一个队的正常发挥，就拿选题来
说，有人想做A 题，有人想做B 题，如果争论一天都未确定方案的话，可能就
没有足够时间完成一篇论文了，又比如，当队中有人信心动摇时（特别是第三天，
人可能已经心力交瘁了），leader 应发挥其作用，让整个队伍重整信心，否则可能
导致队伍的前功尽弃。
3. 合理的时间安排：
做任何事情，合理的时间安排非常重要，建模也是一样，事先要做好一个规
划，建模一共分十个板块（摘要，问题提出，模型假设，问题分析，模型假设，
模型建立，模型求解，结果分析，模型的评价与推广，参考文献，附录）。你每
天要做完哪几个板块事先要确定好，这样做才会使自己游刃有余，保证在规定时
间内完成论文，以避免由于时间上的不妥，以致于最后无法完成论文。
4. 正确的论文格式：
论文属于科学性的文章，它有严格的书写格式规范，因此一篇好的论文一定
要有正确的格式，就拿摘要来说吧，它要包括6 要素（问题,方法,模型,算法,结论,
特色），它是一篇论文的概括，摘要的好坏将决定你的论文是否吸引评委的目光，
但听阅卷老师说，这次有些论文的摘要里出现了大量的图表和程序，这都是不符
合论文格式的，这种论文也不会取得好成绩，因此我们写论文时要端正态度，注
意书写格式。
5. 论文的写作：
我个人认为论文的写作是至关重要的，其实大家最后的模型和结果都差不
多，为什么有些队可以送全国，有些队可以拿省奖，而有些队却什么都拿不到，
这关键在于论文的写作上面。一篇好的论文首先读上去便使人感到逻辑清晰，有
条例性，能打动评委；其次，论文在语言上的表述也很重要，要注意用词的准确
性；另外，一篇好的论文应有闪光点，有自己的特色，有自己的想法和思考在里
面，总之，论文写作的好坏将直接影响到成绩的优劣。
6. 算法的设计：算法的设计的好坏将直接影响运算速度的快慢，建议大家多用数学软件（Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等），这里提供十种数学
建模常用算法，仅供参考：
1、 蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决
问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必
用的方法）
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数
据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多
数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通
常使用Lindo、Lingo 软件实现）
4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算
法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算
法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些
问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，
但是算法的实现比较困难，需慎重使用）
7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很
多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种
暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）
8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计
算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替
积分等思想是非常重要的）
9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分
析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编
写库函数进行调用）
10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文
中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问
题，通常使用Matlab 进行处理）
以上便是我这次参加这次数学建模竞赛的一点心得体会，只当贻笑大方，不
过就数学建模本身而言，它是魅力无穷的，它能够锻炼和考查一个人的综合素质，
也希望广大同学能够积极参与到这项活动当中来。


【作者简介】
作者系西南交通大学理学院信息与计算科学本科生，现任西南交通大学数学建模协会办公室主任，曾获2003 年全国数学建模大赛全国一等奖，2003 年西南交通大学数学建模一等奖。

听君一席话胜读十年书

江的实变哪里找得到？

嗯,说的有点道理

很好的经验.

谢谢了！我正发愁实变函数不知看什么书好呢

是变还是比较难的吧 个人感觉 泛喊还可以

呵呵，来抢个沙发了。写的挺好的。。。