急躁！一题周期的问题?

设周期函数f(x),g(x)在定义域上连续,最小正周期分别为a,b,且a/b 是无理数
证明或否定：f(x)+g(x)不是周期函数 ？
  如特例：sin(x)*cos(sqrt(2)x)

[ 本帖最后由 shuishou 于 2008-8-29 18:40 编辑 ]

关注中

不是周期函数,反证法:
假设是周期函数,那么存在t>0使得f(x+t)+g(x+t)=f(x)+g(x),即f(x+t)-f(x)=g(x)-g(x+t),显然f(x+t)-f(x)是周期函数,a是一个周期,再假设f(x+t)-f(x)无最小正周期,那么对任给的s>0,s可以表示为正无穷级数的和,其中每一项都是f(x+t)-f(x)的周期,这总是可以办到的(因为无最小正周期),那么由f(x)的连续性易知f(x+s+t)-f(x+s)=f(x+t)-f(x),也就是f(x+t)-f(x)恒为常数,记为c,取x使f(x)为最大值,且x+t在f(x)定义域内(连续性与周期性保证了可行性!),则c<=0,同理c>=0,这只有c=0,即f(x+t)=f(x),g(x)=g(x+t),即t为a和b的整数倍,那么a/b为有理数,矛盾,所以第二个假设不成立,即f(x+t)-f(x)有最小正周期,也就是f(x+t)-f(x)与g(x)-g(x+t)有公共的最小正周期,记为p.另一方面,显然a是g(x)-g(x+t)的周期,b是g(x)-g(x+t)的周期,那么a,b均是p的正整数倍,从而a/b是有理数,矛盾,即第一个假设不成立.也就是f(x)+g(x)不是周期函数
我的方法比较拙劣,期待高手指教!

[ 本帖最后由 帅哥0706 于 2008-8-31 23:40 编辑 ]

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