关于二阶线性微分方程的思考

二阶线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=0是否一定有两个线性无关的解?又应该怎么证明呢?请各位一起思考,提出看法.

[ 本帖最后由 xxyiloveyou 于 2009-6-13 00:19 编辑 ]

我说说我自己的看法
我假设存在一种初值问题,记录它的唯一解为a(x);
再假设常微分方程中所有解都线性相关,对不等于a(x)的任意两个解线性相关的解,不妨设有a1(x)=C*a2(x), C为某一个常数;
由以上的假设,那么a(x)可以写成a(x)=C1*a1(x)+C2*a2(x),C1,C2为某一个固定的常数.
由此可以联立一个a(x)与a\'(x)的方程组
由朗斯基公式可以知道联立的方程组所得C1,C2结果是要么无解,要么有无穷解,这都与假设\"C1,C2为某一个固定的常数\"矛盾;
无解的时候,a(x)与另外两个解线性无关,与\"假设常微分方程中所有解都线性相关\"矛盾;无穷多解时C1,C2为任意常数了,则使初值问题的解变得不是唯一的,也不可以取.
所以综上所述,必然存在两个线性无关的解,满足原常微分方程的任意一个初值问题.
由此可以证明,一定存在两个线性不相关的解.

如果有不严谨及错误的地方,请各位踊跃提出.大家一起探讨.

[ 本帖最后由 xxyiloveyou 于 2009-6-13 01:03 编辑 ]