【有奖活动】挑战专业课——数学分析——3（本期结束，答案已公布）

本期为大家带来的是与函数连续性有关的题目，废话不说了，请看下面的题目。

第三期题目：

第三期答案：

欢迎大家把你们做的答案以WORD或图片(jpg，gif，png等)格式回复上传
（为了活动的公正性，大家上传时注意设置版主或者楼主可见）。
我们的目标是：一起学习，共同进步！
没有公式编辑器的，到下面这个帖子里可以下载：
http://bbs.freekaoyan.com/thread-462266-1-1.html
实在不会上传，或没有上传权限的可以把你们的答案发到我的邮箱中，我来帮你们传，
请回帖，并且在邮件中注明你在论坛的用户名哦，我的邮箱地址:
yanghuagang2010@163.com

[ 本帖最后由 snsnsn 于 2010-1-23 22:41 编辑 ]

若函数f是常值函数，结论显然成立；若f非常值函数，
构造F(x)=f(x+1/n)-f(x),x属于0到1-1/n的闭区间，题目转为证F(x)存在零点，显然F(x)连续且一致连续
考察F(0)=f(1/n)-f(0)=f(1/n)-f(1)；F(1-1/n)=f(1)-f(1-1/n)
若有F(0)=0或F(1-1/n)=0则结论显然成立；
若F(0)与F(1-1/n)异号，由介值定理结论也成立；
以下假设F(0)与F(1-1/n)同号（事实上只要排除F(x)定号的情况结论就成立了）。。。
（这题有点难啊，不会是竞赛题吧，先开个头，抛砖引玉吧）

还是只说一下思路好了,
这个题的关键是构造函数F(x)=f(x+1/n)-f(x)
并注意到是在[0,1]内, 且有一个1/n, 这个东西很有意思, 因为如果把[0,1]进行n等分了之后, 对其中的任意两个分点, 记为x_j, x_j
只需要讨论F(x_i)与F(x_j)这两个的正负情况:
事实上, 若F(x_i)与F(x_j)同正或同负, 则有f(0)<f(1)或f(0)>f(1), 这不可能.
所以...

华师大课后题

解法确实很有意思啊 你太牛了！

恩，有点难，不好解

这里先谢谢前面各位的提点！
同样的，构造函数F(x)=f(x+1/n)-f(x)，则F(x)在[0，1-1/n]上连续。
F(0)=f(1/n)-f(0)，F(1/n)=f(2/n)-f(1/n)，F(2/n)=f(3/n)-f(2/n)......F(1-1/n)=f(1)-f(1-1/n)
注意到F(0)+F(1/n)+F(2/n)+......+F(1-1/n)=0,若以上n个式子中有某个为零，则得证；否则，必有两个异号的，由介值定理即得证。

呵呵很好呀

如果我解不出来，请活动时间结束后，版主吧答案发上来啊。

首先视乎得构造函数吧！我先做一下再说。