重庆大学考研辅导概率论与数理统计典型例题分析（2）

重庆大学考研辅导概率论与数理统计典型例题分析（2）
　第五章 随机变量的数字特征

　　例1一口袋中有 ( )号球 只，从中任意摸出一只球，求所得号码的数学期望。

　　解：设所得号码为 ，由题意易知 的分布律为

　　所以

　　例2 设 ～ ， ，求 。

　　解：方法一：设 的密度函数为 ，则

　　方法二：先求出 的分布律

　　例3 设 服从二元正态分布，联合密度函数为

　　令 ，(这时 的分布称为瑞利分布)，求 的数学期望。

　　解：

　　例4.. 设 为相互独立同分布于 的随机变量，试证(1) ～ ;(2)设 ，则 。

　　证明：(1)由正态分布的线性性知 ～

　　而 ， ，所以 ～ 。

　　(2)因为 是 的标准化随机变量，所以

　　， ， ～ ，

　　而 ，

　　故

　　例5 设随机变量 ～ ，令 ，求 。

　　解：随机变量 的密度函数为

　　，

　　. 类似地，

　　，

　　可以证明， 与 不独立。

　　第六章 大数定律及中心极限定理

　　例1 星期一上午来到某画展陈列室的顾客人数 是一个随机变量，其分布未知。已知 (人)， (人)，试问顾客数 在8到28人之间的概率是多少?

　　解：因为

　　所以，利用契比雪夫不等式，得

　　例2 一食品厂有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1，1.2，1.5(元)各个值的概率分别为0.3, 0.2, 0.5。某天售出300只蛋糕。1)求这天的收入至少400元的概率;2)求这天售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。


　　解：1)设一只蛋糕的价格为 ，其分布律为：

　　，

　　可求出

　　利用独立同分布的中心极限定理，则所求概率为

　　2)令

　　记 ，则

　　根据定理5.3.2，则所求概率为

　　例3 某大型商场每天接待顾客10000人，设每位顾客的消费额(元)服从均匀分布 ，且顾客的消费额是相互独立的。试求

　　1)该商场的日消费额(元)与平均日消费额的绝对值不超过2万(元)的概率;

　　2)如果以95%的概率保证该商场的日消费额在400万元以上，那么光顾该商场的顾客数至少为多少?

　　解：设第 位顾客的消费额为 ，商场日销售额为 ，则 ，因为 ，所以

　　，

　　，

　　利用定理5.3.1，得到

　　2)欲求顾客数 ，使得

　　，即

　　，解出： 。

　　此例充分说明，商场的日销售额直接与顾客数有关，商场考虑的经营方针应该围绕怎样吸引顾客，怎样讲究信誉来开展活动。

　　第七章 数理统计的基本概念

　　例1 设总体 为X的样本。求 、 、 。

　　解 ;

　　;

　　例2 设总体 为X的样本。分别求 、 的密度函数 、 。

　　解 因为 ，所以X的密度函数与分布函数分别为：

　　,

　　因此，

　　值得注意的是：样本 是一组独立同分布的随机变量，顺序统计量 一般是既不独立也不同分布的随机变量。

　　例3 设样本 来自总体 ，如果要以99.7%的概率保证偏差 ，试问样本容量n应取多大?

　　解：因为 。现要求n，使

　　即： ，查表知，

　　n =219，即样本容量应为219。

　　例4 设 是来自正态总体 的样本， ，试求统计量 的分布。

　　解 因为 ，又 与 独立

　　所以

　　则

　　又由定理知： ，且 与 独立，

　　故 。

　　第八章 参数估计

　　例1设简单随机样本 来自总体 ,其密度函数为

　　求参数 的矩估计量 和极大似然估计量 。

　　解：

　　所以

　　参数 的矩估计量为

　　因为 ,

　　,

　　得极大似然估计量 ，

　　例2 某厂生产的零件重量 ，今从这批零件中随机抽取9个，测得其重量(单位：克)为;21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，试在置信度0.95下，求参数 、 的置信度为0.95的置信区间。

　　解：该问题没有告诉 的任何信息，视 为未知参数。因为

　　计算

　　所以，参数 的置信度为0.95的区间估计为(21.2614，21.5386)。

　　因为

　　计算

　　所以， 的置信度为0.95的置信区间为(0.0148，0.1193)。

　　注意：若求 的置信度为0.95的置信区间，则只需对上面区间(0.0148，0.1193)两端点开方即可，即 (0.1217，0.3454)。

　　第九章 假设检验

　　例1 某厂生产的某种合金线的抗拉强度服从 ，现从新生产的该种合金线中抽测10根，计算得平均抗拉强度为 。问新生产的这批合金线的抗拉强度是否较以往的高( )?

　　解：根据题意知，总体为新生产的合金线的抗拉强度 ，且服从 ， 未知， 。

　　(1)提出统计假设： ;

　　(2)选择检验统计量： ;

　　(3)拒绝域为 ;

　　(4)判断。计算检验统计量的样本值，得：

　　所以，拒绝原假设，接受备择假设，即在显著水平 下，可以认为新生产的这批合金线的抗拉强度较以往的高。

　　例2某种钢板的重量指标平时服从正态分布，其制造规格规定，钢板重量的方差不得超过 kg2。现在从某天生产的钢板中随机抽测25块，计算得样本方差 kg2，问该天生产的钢板是否符合规格( )?

　　解：该问题的总体为某天生产的钢板重量 (单位：kg)，由题意知 ～ ，但

　　未知，

　　(1)提出统计假设： ;

　　(2)选择检验统计量： ;

　　(3)拒绝域为 ;

　　(4)判断。计算检验统计量的样本值，得：

　　故，拒绝 ，即在显著水平 下，可以认为该天生产的钢板不符合规格。

　　例3 .某药厂在广告上声称该药品对某种疾病的治愈率为85%，一家医院对这种药品临床使用了150例，治愈了110人，问该药品的广告是否真实( )?

　　解：设该药品对某种疾病的实际治愈率为 ，提出统计检验：

　　由于 为大样本，所以选择检验统计量为：

　　拒绝域为 ，计算检验统计量的样本值：

　　故拒绝 ，接受 ，即该药品的广告不真实。

太好了！！！！