f(x)在x=a处二阶导数存在为何无法推出f(x)的二阶导数在x=a的某邻域存在？

还有也无法推出二阶导数在x=a是连续的

沙发！~~·呵呵  顺便替楼主呼唤数学帝出现

假设定义域为[a,b]，理解了吧?

二阶导数连续肯定是推不出的！！
至于为什么推不出f(x)的二阶导数在x=a的某邻域存在，就不知道了！！

这个问题蛮可爱的，你等于是在问函数在一点可导为何推不出在这点的某个邻域内可导，又为什么推不出导数在这点连续。我想你把二阶导数看作是某个函数(一阶导数)的导数后就能看明白了。导数是函数局域于一点处的行为，不同点处的导数是相互独立的。一点处的导数存在与否，跟该点的去心邻域内任何一点的导数存在与否毫无关系，尽管该点的导数依赖于该点邻域内其他点向该点靠近时函数值的变动规律。另外既然导数在该点邻域内的存在与否都是问题，又何从谈及其连续性呢！退一步说，即使函数在一点处的邻域内存在导数，也不能推知其导数在该点连续。此导数在该点可能有第二类间断，而不能有第一类间断。数学家们在思维中用数学概念构造出微积分学中的一系列“魑魅魍魉”，如狄利克雷函数、处处连续而又处处不可微、在一点处可导的曲线在这点却不能作其切线等等。这些东东往往使初学者头大。实际上微积分学的精髓并不在于此。我们大可不必为一些不具代表性的特例付出过多精力，也完全不必对定理作一些不重要的推广而大大增加定理证明的难度。只需专注于具有代表性的概念与定理，便可获得分析学几乎全部之精髓。

引用第4楼surfnaive于2010-11-27 03:56发表的 :
这个问题蛮可爱的，你等于是在问函数在一点可导为何推不出在这点的某个邻域内可导，又为什么推不出导数在这点连续。我想你把二阶导数看作是某个函数(一阶导数)的导数后就能想通了。导数是函数局域于一点处的行为，不同点处的导数是相互独立的。一点处的导数存在与否，跟该点的去心邻域内任何一点的导数存在与否毫无关系，尽管该点的导数依赖于该点邻域内其他点向该点靠近时函数值的变动规律。另外既然导数在该点邻域内的存在与否都是问题，又何谈其连续呢！

对于一阶的可以举个例子
f(X)=0 X为无理数
f(x)=x^2  X为有理数
则f(x)在X=0连续，可导，但f(x)的导函数在 该领域不存在