如何证奇数维可交换的线性变换有公共的特征向量？

ddsmile · 发表于 11-1-9 16:52:19

RT!
证明实数域上奇数维的线性空间V上的两个可交换的线性变换必在V上有公共的特征向量。

tianliangzh · 发表于 11-1-9 22:14:13

奇数维说明总有特征值为实数，其对应的特征子空间为v0,由于可交换，从而A的特征在空间为B的不变子空间，而在不变子空间上B一定有特征向量，设为a,于是a即为所求

ddsmile · 发表于 11-1-9 22:16:51

“在不变子空间上B一定有特征向量”
就是这句话没有很好的理解，能否详细说明下
谢谢

dandanchaore · 发表于 11-1-9 23:34:19

有道理啊

tianliangzh · 发表于 11-1-9 23:46:52

是这样的，A,B,一定有实特征值，设A的实数特征子空间w是B的不变子空间，里面都是实向量，其中一定有一组基，在这组基下，B对应一个矩阵设为B,则他一定有特征值，当然可能是复数，对应的特征向量就是特征向量，假设只有复特征值，设为c,则，Ba=ca, 则ca一定是复数向量，这与子空间向量的实性矛盾，从而w中只可能有B 实数特征值的特征向量

lxdyahoo · 发表于 11-1-11 19:20:00

因为偶数就会产生共轭奇数不会

“实数域上奇数维” 复数和实数不能对应采用反证法
可以避开充分必要双重证明

chiechie · 发表于 11-1-13 00:24:04

不错哈，讲得很清晰，你是今年考研的么

岚晓 · 发表于 11-11-27 22:23:43

我对不变子空间很是搞不明白的，，，

岚晓 · 发表于 11-11-27 22:24:50

我对不变子空间很是搞不明白的，，，

毛cn · 发表于 13-9-26 08:20:21

tianliangzh 发表于 2011-1-9 23:46
是这样的，A,B,一定有实特征值，设A的实数特征子空间w是B的不变子空间，里面都是实向量，其中一 ...

维数不一样啊，特征子空间的维数一般不是n维的，那矩阵B也就不是n维的。

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