请教高代题目，求牛人解决

kaka5527627 · 发表于 11-1-10 18:40:51

A是n阶复矩阵，A的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量，求证存在n维列向量a，使a,Aa,....A^(n-1)a线性无关

lxdyahoo · 发表于 11-1-11 19:02:18

a指的是什么？不太明白题目没说清楚是常数还是矩阵？是实数还是复数？还是特征向量？
我感觉a是特征向量
看结论证明感觉是数域P【X】n 。。。

kaka5527627 · 发表于 11-1-11 19:33:49

是向量

lxdyahoo · 发表于 11-1-11 21:36:32

Aa=λa 最后就能得出P【X】n的一组基
P【X】n的一组基（对应特征值高等代数题解精粹里面有相关前半部分的证明）线性无关即特征值线性无关放到题目中就是n个特征值互异充要条件得出结论

chiechie · 发表于 11-1-13 08:16:58

它的n个特征值对应的n个特征向量相加得到的向量即为所求，因为过渡矩阵为范得蒙行列式，n个特征值构成矩阵的不同元素，所以得到的n个向量还是线性无关的

kaka5527627 · 发表于 11-1-13 15:13:07

有重根呢

chiechie · 发表于 11-1-13 15:45:09

汗，我没看清楚，重根可以取对应的不变子空间的一个向量a，使a，Aa，A^2a，…A^ra=0.得到的矩阵的行列式也不为零

lxdyahoo · 发表于 11-1-16 23:58:13

高等代数题解精粹对此题应该有些作用吧有时间看看吧楼主

龙歌左#佐冢 · 发表于 11-11-27 20:03:43

反证不就可以了吗？假设对任意的a都线型相关，那么就可以得到一个零化多项式，次数最多为n－1，而它的最小多项式为它的特征多项式，矛盾！（这里是可以得出它的n个特征值互不相等的！）

陶哲轩小弟 · 发表于 12-5-8 23:45:23

墓地是找A作用下的循环向量。
由题意可知A有n个互异的特征值，设其属于n个不同特征值的特征向量分别为x1,x2,……,xn。
令：
x=x1+x2+……+xn

还有另外一个方法，利用线性方程组，系数行列式恰为范德蒙行列式

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