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任何实数X都是一个有理数列的极限,也是一个无理数列的极限,求证明过程

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楼主
云上日子2015 发表于 14-10-16 00:00:45 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
如题,此题为数学分析(一),刘名生编著,P34第5题
沙发
magic9901 发表于 14-10-16 03:39:59 | 只看该作者
本帖最后由 magic9901 于 14-10-16 05:04 编辑

证法一:可以由实数x的Dedekind分割的定义知道x是某个有理数序列的极限,x也是某个无理数序列的极限。
又或者
证法二:如果x是有理数,则x是有理数序列nx/(1+n)的极限,注意到e是无数,故也是无理数序列xe^{-1/n}的极限
如果x是无理数,则x是无理数序列nx/(1+n)的极限,
设x的连分数无限展式为x=[a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n,a_{n+1},\cdots],这里a_0是整数,a_k(k=1,2,\cdots)是正整数
则x_n=[a_o,a_1,a_2,\cdots,a_n]是有理数序列,且x_n的极限是x。
板凳
 楼主| 云上日子2015 发表于 14-10-16 22:20:57 | 只看该作者
magic9901 发表于 14-10-16 03:39
证法一:可以由实数x的Dedekind分割的定义知道x是某个有理数序列的极限,x也是某个无理数序列的极限。
又 ...

非常感谢,真的非常感谢
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