伍胜健《数学分析》笔记和考研真题详解

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内容简介
目录
第1章　函　数
　1.1　复习笔记
　1.2　名校考研真题详解
第2章　序列的极限
　2.1　复习笔记
　2.2　名校考研真题详解
第3章　函数的极限与连续性
　3.1　复习笔记
　3.2　名校考研真题详解
第4章　导数与微分
　4.1　复习笔记
　4.2　名校考研真题详解
第5章　导数的应用
　5.1　复习笔记
　5.2　名校考研真题详解
第6章　不定积分
　6.1　复习笔记
　6.2　名校考研真题详解
第7章　定积分
　7.1　复习笔记
　7.2　名校考研真题详解
第8章　广义积分
　8.1　复习笔记
　8.2　名校考研真题详解
第9章　数项级数
　9.1　复习笔记
　9.2　名校考研真题详解
第10章　函数序列与函数项级数
　10.1　复习笔记
　10.2　名校考研真题详解
第11章　幂级数
　11.1　复习笔记
　11.2　名校考研真题详解
第12章　傅里叶级数
　12.1　复习笔记
　12.2　名校考研真题详解
第13章　多元函数的极限和连续
　13.1　复习笔记
　13.2　名校考研真题详解
第14章　多元微分学
　14.1　复习笔记
　14.2　名校考研真题详解
第15章　重积分
　15.1　复习笔记
　15.2　名校考研真题详解
第16章　曲线积分与曲面积分
　16.1　复习笔记
　16.2　名校考研真题详解
第17章　含参变量积分
　17.1　复习笔记
　17.2　名校考研真题详解
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内容预览
第1章　函数
1.1　复习笔记
一、实数
1．数集
（1）集合的概念
集合是将具有某种特性的、确定的、互不相同的对象的全体作为一个整体，这些对象称为集合中的元素，若a是集合A中的元素，则记为a∈A，如果a不是集合A中的元素，则记为

.
（2）集合的表示方法
①列举法：是将集合中的元素全部列出.
②描述法：是将集合的特性精确给出.
（3）子集的相关概念
①子集的定义：若集合A中的每一个元素X都属于集合B，则称B包含A，记为

，此时也称A是B的子集.
②集合相等：如果

和

同时成立，则认为A，B是同一个集合，此时也记为A＝B.
③真子集的定义：若

且A≠B，则称A是B的真子集，记为

.
注：空集

即

中不含有任何元素,因此

是任何集合的子集.
（4）集合的运算
给定集合A，B，集合有以下常用运算：
①

称为A与B的并；
②

称为A与B的交；
③

称为A与B的差.
2．实数系的连续性
（1）分划的定义
设S是一个有大小顺序的非空数集，A和B是它的两个子集，如果它们满足以下条件
①

②

③

都有

④A中无最大数，
则将A，B称为S的一个分划，记为

.
（2）戴德金分割定理
对实数系R的任一分划（A|B），B中必有最小数.
3．有界集与确界
（1）有界集
①设集合

并且

，
a．如果存在

使得对

有

≤M，则称E是有上界的，并且说M是E的一个上界；
b．如果存在

使得对

有

≥m，则称E是有下界的，并且说m是E的一个下界；
c．如果E既有上界又有下界，则称E是有界的.
②E是有界的充分必要条件是：存在M＞0，使得对任意的

有

（2）确界的定义
①上确界
设

为一个非空数集，若有

满足
a．M是E的一个上界，即

有

b．对

存在

使得

则称M为E的上确界，记为

.
②下确界
设

为一个非空数集，若有

满足：
a．m是E的一个下界，即

有

b．对

存在

使得

，则称m为E的下确界，记为

显然，E的上确界就是它的最小上界，而下确界就是它的最大下界.
（3）确界定理
非空有上界的实数集必有上确界；非空有下界的实数集必有下确界.
（4）常用不等式
①实数的绝对值

由此可知，对任何

有

②三角不等式

，

③伯努利（Bernoulli）不等式：对任意的

和任意正整数n，有

④算术—几何平均不等式：对任意n个非负实数

有：

（5）常用记号
①N：全体正整数组成的集合；
②Z：全体整数组成的集合；
③Q：全体有理数组成的集合；
④R：全体实数组成的集合.
显然有

⑤闭区间：

⑥开区间：

⑦左开右闭区间：

⑧左闭右开区间：


且

；
⑨无穷区间：

.
二、函数的概念
1．函数的定义
（1）对于给定的集合

，如果存在某种对应法则f，使得对X中的每一个数x，在R中存在唯一的数y与之对应，则称对应法则f为从X到R的一个函数，记做

其中y称为f在点x的值，X称为函数f的定义域，数集


称为函数f的值域，记为f（x），x称做自变量，y称做因变量.
（2）构成一个函数必须具备三个基本要素：定义域、值域和对应法则.
2．常见函数类型
（1）基本初等函数
①常值函数：

②幂函数：

③指数函数：

④对数函数：

⑤三角函数：

⑥反三角函数：

.
（2）特殊函数
①符号函数

②狄利克雷（Dirich1et）函数

.
③高斯（Gauss）取整函数

其中［x］即不超过x的最大整数，即n≤x＜n＋1.
④黎曼（Riemann）函数

⑤特征函数:设

，

称为集E的特征函数.
3．函数的构造
（1）函数的四则运算
设

为两个已知函数，且


则可以利用实数的四则运算构造新函数如下：

（2）函数的限制与延拓
设函数

和

满足：

且


则称f（x）是g（x）在X1上的限制，而g（x）是f（x）在X2上的延拓.
（3）函数的复合
设


为两个函数，若

则定义在X1上的函数

称为f1和f2的复合函数，记作

，通常称f1为该复合函数的内函数，f2为外函数.
注：函数的复合运算可以进行的前提条件是，外函数的定义域必须包含内函数的值域.
（4）映射和反函数的定义
①单射：设

是一个函数，若对任意的

只要x1≠x2，就有

成立，则称f（x）是单的.
②满射：若

则称f（x）为满的.
③双射：若f（x）既是单的又是满的，称为双射，又称它为一个一一对应.
④反函数：设

是一个一一对应.定义函数

如下：对任意的

函数值g（y）规定为由关系式y＝f（x）所唯一确定的

这样定义的函数g（y）称为是函数f（x）的反函数，记为

注：反函数

的定义域和值域恰为原来函数

的值域和定义域.函数f和其反函数

满足：

y＝f（x）的图像与它的反函数

的图像正好关于直线y＝x对称.
三、具有某些特性的函数
1．有界函数
（1）设y＝f（x）是定义在X上的函数.若存在常数M，使得对


都有f（x）≤M，则称f（x）在X上有上界，同时称M是f（x）的一个上界；若存在常数m，使得对

都有

,则称f（x）在X上有下界，同时称m是f（x）的一个下界；若f（x）在X上既有上界M又有下界m，则称f（x）在X上有界.
（2）f（x）在X上有界的充分必要条件是存在

，使得当

时，有

,即

2．单调函数
设y＝f（x）是定义在X上的一个函数，若对任意的

只要x1＜x2，便有

则称f（x）在X上是单调上升（下降）函数或单调递增（递减）函数.在上述不等式中将

换成

则称f（x）在x上是严格单调上升（下降）函数.单调上升函数和单调下降函数统称为单调函数.
3．周期函数
设y＝f（x）是在X上有定义的函数,若存在T＞0，使得对任意

有

则称f（x）为周期函数，T称为f（x）的一个周期.若存在一个最小的正周期T0，则称T0为f（x）的基本周期.
4．奇函数、偶函数
设y＝f（x）是定义在X上的一个函数，而且X是关于原点对称的，即

蕴涵着

（1）若

对一切的

成立，则称f（x）是X上的奇函数；
（2）若

对一切的

成立，则称f（x）是X上的的偶函数.
注：偶函数的图像是关于y轴对称的，而奇函数的图像是关于原点对称的.
四、初等函数
1．初等函数的概念
从六种基本初等函数出发，经过有限多次加、减、乘、除和复合运算所能得到的所有函数统称为初等函数.
2．双曲函数
（1）双曲函数的定义

这四个函数分别称之为双曲正弦、双曲余弦、双曲正切和双曲余切.
（2）双曲函数的恒等式


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