复旦大学数学系《数学分析》（第3版）（下册）笔记和课后习题（含考研真题）详解

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内容简介
目录
第3篇　级　数
　第1部分　数项级数和反常积分
　　第9章　数项级数
　　　9.1　复习笔记
　　　9.2　课后习题详解
　　　9.3　名校考研真题详解
　　第10章　反常积分
　　　10.1　复习笔记
　　　10.2　课后习题详解
　　　10.3　名校考研真题详解
　第2部分　函数项级数
　　第11章　函数项级数、幂级数
　　　11.1　复习笔记
　　　11.2　课后习题详解
　　　11.3　名校考研真题详解
　　第12章　傅里叶级数和傅里叶变换
　　　12.1　复习笔记
　　　12.2　课后习题详解
　　　12.3　名校考研真题详解
第4篇　多变量微积分学
　第1部分　多元函数的极限论
　　第13章　多元函数的极限与连续
　　　13.1　复习笔记
　　　13.2　课后习题详解
　　　13.3　名校考研真题详解
　第2部分　多变量微分学
　　第14章　偏导数和全微分
　　　14.1　复习笔记
　　　14.2　课后习题详解
　　　14.3　名校考研真题详解
　　第15章　极值和条件极值
　　　15.1　复习笔记
　　　15.2　课后习题详解
　　　15.3　名校考研真题详解
　　第16章　隐函数存在定理、函数相关
　　　16.1　复习笔记
　　　16.2　课后习题详解
　　　16.3　名校考研真题详解
　第3部分　含参变量的积分和反常积分
　　第17章　含参变量的积分
　　　17.1　复习笔记
　　　17.2　课后习题详解
　　　17.3　名校考研真题详解
　　第18章　含参变量的反常积分
　　　18.1　复习笔记
　　　18.2　课后习题详解
　　　18.3　名校考研真题详解
　第4部分　多变量积分学
　　第19章　积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质
　　　19.1　复习笔记
　　　19.2　课后习题详解
　　　19.3　名校考研真题详解
　　第20章　重积分的计算及应用
　　　20.1　复习笔记
　　　20.2　课后习题详解
　　　20.3　名校考研真题详解
　　第21章　曲线积分和曲面积分的计算
　　　21.1　复习笔记
　　　21.2　课后习题详解
　　　21.3　名校考研真题详解
　　第22章　各种积分间的联系和场论初步
　　　22.1　复习笔记
　　　22.2　课后习题详解
　　　22.3　名校考研真题详解
                                                                                                                                                                                                    内容简介                                                                                            


　　复旦大学数学系主编的《数学分析》（第3版）是我国高校数学类广泛采用的权威教材之一，也被众多高校（包括科研机构）指定为考研考博专业课参考书目。
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内容预览
第3篇　级　数
第1部分　数项级数和反常积分
第9章　数项级数
9.1　复习笔记
一、上极限和下极限
1．定义
对于一个有界数列

．去掉它的最初k项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确界为

下确界为

亦即

可见

令k＝1，2，3，…，得到一列

和一列

数列

单调减少，

单调增加，所以这两个数列的极限都存在．称

的极限是

的上极限，设它是H．

的极限是

的下极限，设它是h．并分别将上极限和下极限记为

即

由

得h≤H．
2．重要性质
（1）设

则
①当H有限时，对于H的任何ε邻域（H－ε，H＋ε），在数列

中有无穷多个项属于这个邻域，而在
（H＋ε，＋∞）中最多只有有限多个项（包括一项也没有）（图9-1）；

图9-1
②当

时，对任何数N＞0，在

中必有无穷多个项大于N；
③当

时，数列

以

为极限．
（2）设

则
①当h为有限时，对h的任何ε邻域（h－ε，h＋ε），在数列

中有无穷多个项属于这个邻域，而最多只有有限多个项小于h－ε（包括一项也没有）；
②当h＝－∞时，对任何数N＞0，在数列

中有无穷多个项小于－N；
③当h＝＋∞时，数列

的极限为＋∞．
（3）设H为

的上极限，那么，在

中必存在一个子列，其极限为H，并且H是

中所有收敛子列的极限中的最大值．设h为

的下极限，那么，在

中必存在一个子列，其极限为h，并且h是

中所有收敛子列的极限中的最小值．
（4）

（A有限或无穷大）的充要条件为

二、级数的收敛性及其基本性质
1．定义
一系列无穷多个数

写成和式

就称为无穷级数，记为

令

称

为级数

的n次部分和（简称部分和），称数列

为级数的部分和数列．
若级数

的部分和数列

收敛于有限值S，即

则称级数

收敛，记为

并称此值S为级数的和数．若部分和数列

发散，则称级数

发散．当级数收敛时，称

为级数的余和．
2．收敛级数性质
（1）若级数

收敛，a为任一常数，则

亦收敛，并且有

（2）若两个级数

都收敛，则

也收敛，并且有

（3）一个收敛级数

对其项任意加括号后所成级数

仍收敛，且其和不变．
（4）（收敛的必要条件）若级数

收敛，则


，即收敛级数的一般项必趋于0．
3．柯西收敛原理
级数

收敛的充要条件是：对任意给定的正数ε，总存在N，使得当n＞N时，对于任意的正整数
p＝1，2，3，…，都成立着

也可以表述为：对任意给定的正数ε，总存在N，使得对于任何两个大于N的正整数m及n（不妨假设n＜m），都成立

其中

为级数

的部分和．
三、正项级数
1．正项级数收敛的基本定理
如果正项级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛，如果正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到＋∞．
2．正项级数收敛的判别法
（1）比较判别法
若两个正项级数

和

，存在常数c＞0，使

或者存在N，当n＞N时，成立以上关系式，则
①当级数

收敛时，级数

收敛；
②当级数

发散时，级数

发散．
（2）比较判别法的极限形式
给定两正项级数

和

，


那么这两个级数同时收敛或同时发散．
（3）柯西判别法
设

为正项级数．若存在N，当n＞N时，有

（q为某确定的常数），则级数

收敛．若存在N，当n＞N时，有

则级数

发散．
（4）柯西判别法的极限形式
对于正项级数

，设

那么，当r＜1时此级数必为收敛，当r＞1时此级数发散，而当r＝1时此级数的收敛性需进一步判定．
（5）达朗贝尔判别法
设

为正项级数，若存在N，当n＞N时，有

（q为确定的数），则级数

收敛．若存在N，当n＞N时，有

则级数

发散．
（6）达朗贝尔判别法的极限形式
对于正项级数

当

时，级数

收敛．当

时，级
数

发散，而当

或者

时，级数

的敛散性需进一步判定．
（7）柯西积分判别法
对于正项级数

，设

为单调减少的数列，作一个连续的单调减少的正值函数f（x）（x＞0），使得当x等于正整数n时，其函数值恰为

亦即

那么，级数

与数列

这里

同为收敛或同为发散．
四、任意项级数
1．绝对收敛和条件收敛
（1）定义
对于级数

如果其每一项加上绝对值以后所组成的正项级数

收敛，则称级数

为绝对收敛．如果

发散但

却是收敛的，则称级数

为条件收敛．
（2）绝对收敛和条件收敛的关系
绝对收敛级数必为条件收敛级数，但反之不然．
2．交错级数
（1）定义
称正负项相间的级数，也就是形如

的级数，其中

，为交错级数．
（2）莱布尼茨定理
如果一个交错级数

的项满足以下两个条件：
①

单调减少

②

则①级数

收敛；
②它的余和rn的符号与余和第一项的符号相同，并且余和的绝对值不超过余和的第一项的绝对值

3．阿贝尔（Abel）判别法和狄利克雷判别法
（1）阿贝尔变换
考虑形如

的级数．对下面的和数

阿贝尔给出了一个初等的变换．设

则

就是阿贝尔变换．
（2）阿贝尔引理
如果
①

单调（增加或减少）；
②

有界

则

（3）阿贝尔引理的推论
如果

，那么

（4）阿贝尔判别法
如果
①级数

收敛；
②数列{an}单调有界，

则级数

收敛．
（5）狄利克雷判别法
如果
①级数

的部分和Bn有界，

②数列{an}单调趋于零，
则级数

收敛．
五、绝对收敛级数和条件收敛级数的性质
1．绝对收敛级数和条件收敛级数的本质差别
对于级数

，将它的所有正项保留而将负项换为零，组成一个级数，记为

．将它的所有负项变号（乘上因子－1）而将正项换为零，也组成一个正项级数，记为

，即

那么
（1）若级数

绝对收敛，则级数

和

都收敛；
（2）若级数

条件收敛，则级数

和

都发散．
2．绝对收敛级数的更序级数性质
绝对收敛级数

的更序级数

仍为绝对收敛，且其和相同

其中，一个级数

的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数．
3．黎曼定理
若级数

条件收敛，那么，总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数，使它收敛于任何预先给定的数S（包括

的情形）．
4．柯西定理
若级数

和

都绝对收敛，其和分别为U和V，则它们各项之积

按照任何方法排列所构成的级数也绝对收敛，且其和为UV．
5．梅尔腾斯（Mertens）定理
若级数

和

中，仅有一个是绝对收敛，其和为A，另一个是条件收敛，其和为B，则它们的柯西乘积组成的级数仍收敛，其和为AB．
六、无穷乘积
1．定义
对于一个数列

将这一列数连乘起来，用记号

表示如下

，称为无穷乘积，如果将数列{pn}中前n个数连乘起来，得到

称为部分乘积．令n＝1，2，3，…，就得到部分乘积的序列

对于这个序列{pn}，只可能有下面三种情形：
（1）存在非零的有限极限

（2）极限为零：

（3）发散，即不趋向任何有穷极限．
在第（1）种情形下，称无限乘积

为收敛的，并称极限值P为这个乘积的值，记为

而在第（2），（3）种情形时称此无穷乘积为发散的．在一个无穷乘积中，只要有一个因数为零，那么就得部分乘积序列的极限P＝0．
2．收敛无穷乘积的性质
（1）若无穷乘积

收敛，记

称它为余乘积，则

（2）收敛的必要条件
若无穷乘积

收敛，则

（3）若无穷乘积

收敛，那么，任意增加有限个异于零的项或者任意删去有限个项，而不改变其原有的次序，所得无穷乘积仍收敛．
3．无穷乘积收敛的判别法
（1）无穷乘积

收敛的充要条件是级数

收敛，并且当这一条件满足时，若L是级数的和数，那么有

（2）

具有零值（即发散于零）的充要条件为

（3）无穷乘积

的敛散性
令

①若对充分大的n，有

那么无穷乘积

收敛的充要条件为级数

收敛．
②若

发散，则

具有零值．
③若级数

同时收敛，则无穷乘积

收敛．
4．无穷乘积绝对收敛
对于无穷乘积

，当级数

绝对收敛时，称无穷乘积是绝对收敛的．并且绝对收敛乘积具有可交换性，而非绝对收敛乘积不具有可交换性．

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