2017年成人高考专科起点升本科《高等数学（一）》考点精讲及典型题（含历年真题

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内容简介
目录
第1章　极限与连续
　1.1　考点精讲
　1.2　典型题（含历年真题）详解
第2章　一元函数微分学
　2.1　考点精讲
　2.2　典型题（含历年真题）详解
第3章　一元函数积分学
　3.1　考点精讲
　3.2　典型题（含历年真题）详解
第4章　空间解析几何
　4.1　考点精讲
　4.2　典型题（含历年真题）详解
第5章　多元函数微积分学
　5.1　考点精讲
　5.2　典型题（含历年真题）详解
第6章　无穷级数
　6.1　考点精讲
　6.2　典型题（含历年真题）详解
第7章　常微分方程
　7.1　考点精讲
　7.2　典型题（含历年真题）详解
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内容预览
第1章　极限与连续
1.1　考点精讲
一、极限
1．数列的极限
（1）数列的定义
按一定顺序排列的一列数

称为无穷数列，简称数列，记作{xn}。
数列中的每一个数叫做数列的项，第n项

叫做数列的一般项或通项。
数列{xn}可看作自变量为正整数n的函数：xn＝f（n），它的定义域是全体正整数，当自变量n依次取1，2，3等一切正整数时，对应的函数值就排成数列{xn}。
（2）数列的极限
①定义
设{

}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式

都成立，那么就称常数a是数列{

}的极限，或者称数列{

}收敛于a，记为

或

。
如果不存在这样的常数a，就说数列{

}没有极限，或者说数列{

}是发散的，习惯上也说lim

不存在。
②几何意义
将常数a及数列

在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间（a－ε，a＋ε）（图1-1）。

图1-1
所以当n＞N时，所有的点

都落在开区间（a－ε，a＋ε）内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间以外。
注意在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列{

}的极限时，重要的是对于任意给定的正数ε，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N。
③数列极限的性质
a．唯一性
如果数列{

}收敛，那么它的极限唯一。
b．有界性
对于数列{

}，如果存在着正数M，使得对于一切x都满足不等式

，则称数列{

}是有界的；如果这样的正数M不存在，就说数列{

}是无界的。
如果数列{

}收敛，那么数列{

}一定有界。
（3）四则运算法则
①设有数列{

}和{

}．如果

，

，那么
a．

；
b．

；
c．当

(n＝1，2，…)且

时，

。
②如果

，而

，

，那么

。
③设函数y＝f[g(x)]是由函数u＝g(x)与函数y＝f(u)复合而成，f[g(x)]在点

的某去心邻域内有定义，若

，且存在

，当

时，有

，则

。
（4）数列极限存在准则
①（夹逼准则）如果数列{

}，{

}及{

}满足下列条件：
a．

；
b．

那么数列{xn}的极限存在，且

。
②单调有界数列必有极限。
2．函数的极限
（1）函数极限的定义
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。
（2）函数极限的性质
①唯一性
若

存在，那么它的极限唯一。
②有界性
如果

，那么存在常数M＞0和

，使得当

时，有

。
③局部保号性
a．如果

，且A＞0（或A＜0）那么存在常数

，使得当

时，有f(x)＞0（或
f(x)＜0）。
b．如果

，那么就存在着

的某一去心邻域

，当

时，就有

。
c．如果在

的某去心邻域内

，而且

，那么


．
（3）函数在一点处的极限
①当

时函数f（x）的极限
如果当x无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当

时，函数f（x）的极限（值）为A，记作

或

（当

时）
②当

时函数f（x）的极限
如果当x从x0的左边（或右边）无限地趋于x0时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当

时，函数f（x）的左极限（或右极限）是A，记作

③左、右极限与函数极限的关系
当

时，函数f（x）的极限等于A的充分必要条件是：

④几何意义
任意给定一正数ε，作平行于x轴的两条直线y＝A＋ε和y＝A－ε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点

的一个δ邻域（

－δ，

＋δ），当y＝f（x）在图形上的点的横坐标x在邻域（x0－δ，x0＋δ）内，但x≠x0时，这些点的纵坐标f（x）满足不等式

，亦即这些点落在上面所作的横条区域内（图1-2）。

图1-2
（4）x趋于无穷大时函数的极限
①当x

∞时函数f（x）的极限
如果当x

∞时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当x

∞时，函数f（x）的极限（值）是A，记作

或

（当

时）
②当x

＋∞（或－∞）时，函数f（x）的极限
如果当x

＋∞（或－∞）时，函数f（x）无限地趋于一个确定的常数A，则称当x

＋∞（或－∞）时，函数f（x）的极限（值）是A，记作

③几何意义
从几何上来说，

的意义是：作直线y＝A－ε和y＝A＋ε，则总有一个正数X存在，使得当x＜－X或x＞X时，函数y＝f（x）的图形位于这两直线之间（图1-3）．这时，直线y＝A是函数y＝f（x）的图形的水平渐近线。

图1-3
（5）函数极限的性质
①（唯一性）如果

存在，则极限值必唯一。
②（夹逼定理）设函数f（x），g（x），

在点x0的某个邻域内（x0可除外）满足条件：

（6）四则运算法则
如果limf（x）＝A，limg（x）＝B，则：



上述运算法则不难推广到有限多个函数的代数和及乘积的情况，因而有以下的推论。
推论：设

都存在，k为常数，n为正整数，则有

3．无穷小量与无穷大量
（1）无穷小量与无穷大量的定义
①无穷小量
如果自变量x在某个变化过程中（x

x0或x

∞），函数的极限值为零，则称在该变化过程中，f（x）为无穷小量，记作

。
②无穷大量
如果当自变量x

x0（或x

∞）的过程中，经过某一时刻后f（x）的绝对值可以大于事先任意给定的充分大的正数M，则称在该变化过程中，f（x）为无穷大量，记作

。
（2）无穷小量与无穷大量的关系
在同一变化过程中，如果f（x）为无穷大量，则

为无穷小量；反之，如果f（x）为无穷小量，且f（x）≠0，则

为无穷大量。
（3）无穷小量的性质
①有限个无穷小量之和仍为无穷小量；
②有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量；
③有限个无穷小量之积仍为无穷小量。
（4）无穷小量的比较
设α和β是同一过程中的无穷小量，即

①高阶无穷小
如果

，则称α是较β高阶的无穷小量，记为

；
②同阶无穷小
如果

，则称α是与β同阶的无穷小量；
③等价无穷小
如果

，则称α与β是等价无穷小量，记为

；
④低阶无穷小
如果

，则称α是比β低阶的无穷小量。
（5）常用等价无穷小（

）
①

②

③

④

⑤

⑥

⑦


4．两个重要极限
（1）

它可以用下面更直观的结构式表示

式中的方块

既可以表示自变量x又可以是x的函数，而

表示当

时必有

即当

为无穷小量时，上式的极限值才是1。
（2）

或

对数列有

其结构式可表示为

其中方块

的含义同前。
二、连续
1．定义
（1）函数在一点处连续的定义
设函数y＝f(x)在点

的某一邻域内有定义，如果

或

那么就称函数y＝f(x)在点

连续。
（2）左连续和右连续
如果limf（x）＝f（

－）存在且等于f（

），即

，f（

－）＝f（

），就说函数f（x）在点

左连续；如果limf（x）＝f（

＋）存在且等于f（

），即

，f（

＋）＝f（

），就说函数f（x）在点

右连续。
（3）函数在一点处连续的充分必要条件
函数

在点

处连续

函数

在点

处左连续且右连续，且

。
（4）函数的间断点
①间断点的定义
设函数f（x）在点

的某去心邻域内有定义，如果函数f（x）：
a．在x＝

没有定义；
b．虽在x＝

有定义，但limf（x）不存在；
c．虽在x＝

有定义，且limf（x）存在，但limf（x）≠f（x0），
则函数f（x）在点

为不连续，而点

称为函数f（x）的不连续点或间断点。
②间断点的分类
a．第一类间断点
设

是函数f(x)的间断点，若左极限

和右极限

都存在，则

是函数f(x)的第一类间断点．如果左极限

等于右极限

，则

是可去间断点；如果左极限

不等于右极限

，则

是跳跃间断点。
b．第二类间断点
不属于第一类间断点的间断点称为第二类间断点．无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点。
2．函数在一点处连续的性质
（1）连续函数的算术运算
若函数

，

在点

处连续，则

，

，

在点

处也连续。
（2）复合函数的连续性
①若

，函数

在点a处连续，则有

。
②设函数

在点

处连续，且

，而函数

在点

处连续，则复合函数

在点

处也连续。
3．闭区间上函数连续的性质
（1）有界性定理
在闭区间上的连续函数一定在该区间上有界。
（2）最值定理
在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
（3）零点定理
设函数

在闭区间

上连续，且

(

与

异号)，那么在开区间

内至少有一点

，使

。
（4）介值定理
设函数

在闭区间

上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

及

，那么对于A与B之间的任意数C，在开区间

内至少有一点ξ使得f(ξ)＝C（a＜ξ＜b）。
4．初等函数的连续性
（1）基本初等函数在其定义域内是连续的
①三角函数及反三角函数在定义域内是连续的。
②指数函数

在区间

内单调且连续。
③对数函数

在

内单调且连续。
④幂函数

在

内连续。
（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
（3）代入法求初等函数的极限

（

定义区间）

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