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求助一道微分证明题

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11#
maoaimin 发表于 07-11-21 10:59:46 | 只看该作者
用导数定义和重要公式就可以求出来啊
12#
bestlove 发表于 07-11-22 21:23:33 | 只看该作者

回复 #2 freeocean 的帖子

要用到等价无穷小的替换,2楼的确简单些哦。
13#
ID_800Rain 发表于 07-11-22 23:09:47 | 只看该作者
原帖由 myron 于 2007-11-11 10:20 发表
转化为指数函数以后应该对指数的极限用洛必达法则,最终得出结果,不是利用微分定义啊~~~~


观察得仔细啊,
这里还可以这么理解的.

ln[ f(x + a)/f(a)] = ln[ (f(x + a) - f(a))/f(x) + 1]

于是 ln(f(x+a)/f(a)) ~ (f(x+a) - f(a))/f(a)                     ....(利用 ln(1 + x) ~ x 代换)
所以....

[ 本帖最后由 ID_800Rain 于 2007-11-22 23:11 编辑 ]
14#
ID_800Rain 发表于 07-11-22 23:10:16 | 只看该作者
原帖由 myron 于 2007-11-11 10:20 发表
转化为指数函数以后应该对指数的极限用洛必达法则,最终得出结果,不是利用微分定义啊~~~~


观察得仔细啊,
这里还可以这么理解的.

ln[ f(x + a)/f(a)] = ln[ (f(x + a) - f(a))/f(x) + 1]

于是 ln(f(x+a)/f(a)) ~ (f(x+a) - f(a))/f(a)                    ....(利用 ln(1 + x) ~ x 代换)
所以....
15#
wmlln1219心动 发表于 07-11-22 23:23:41 | 只看该作者

回复 #13 ID_800Rain 的帖子

恰恰错误!
必须用导数定义。题目只说了f(x)可导,没说导数连续,用洛必达计算的结果极限符号是放不进去的,所以是不正确的。你好好理解下~
2楼的做法是正确解答
16#
19850721 发表于 07-11-22 23:38:25 | 只看该作者

回复 #4 myron 的帖子

同意楼上的观点,只能用导数定义做~~
17#
chhdgm 发表于 07-11-23 00:27:38 | 只看该作者
批准了,同意
18#
ID_800Rain 发表于 07-11-23 13:20:54 | 只看该作者
原帖由 wmlln1219心动 于 2007-11-22 23:23 发表
恰恰错误!
必须用导数定义。题目只说了f(x)可导,没说导数连续,用洛必达计算的结果极限符号是放不进去的,所以是不正确的。你好好理解下~
2楼的做法是正确解答



呵呵,感谢你的提醒~

我上面是对 2# 中间某个步骤的解释啊.
lim( 1/x * ln [f(a + x)/f(a)] ) = lim 1/x *((f(a + x) - f(a)) / f(a))  的补充解释. 然后就使用 极限定义:
lim (f(a + x) - f(a))/x  = f\'(a).

不过话又说回来了,L\'Hospital 是可以使用的.尽管 f(x) 在定义区内没有说全存在导数.但在 邻域 D(a, d) 内(|x - a| < d),是可以使用L\'Hospital 法则的.除了 a 点外,并不能使用 L\'Hospital.

附:
L\'Hospital 法则: 若函数  f(x) 和 g(x) 在点 x0 的某个去心邻域 (x0 - d, x0 + d) 内有定义,其中 d > 0 且满足:
a, x0 的去心邻域内可微,且 g\'(x) = 0.
......

呵呵,可能我和仁兄对L\'Hospital 法则理解不一样吧.还望仁兄多加指点.
19#
wmlln1219心动 发表于 07-11-23 13:30:15 | 只看该作者

回复 #18 ID_800Rain 的帖子

很有道理,同意兄弟的看法~
L\'Hospital 法则: 若函数 f(x) 和 g(x) 在点 x0 的某个去心邻域 (x0 - d, x0 + d) 内有定义,其中 d > 0 且满足:a, x0 的去心邻域内可微,且 g\'(x) = 0.
20#
yang898guang 发表于 07-12-4 23:14:00 | 只看该作者
支持8楼!
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