紧急求助关于曲线曲面积分的概念问题!!!

第一类曲线积分求出的到底是什么?是曲线的长度么?

第二类曲线积分求出的到底是什么?为什么它要有方向?

格林公式仅仅就是为了把曲线积分转化为二重积分么?

第一类曲面积分求出的到底是什么?是曲面的面积么?

第二类曲面积分求出的到底是什么?为什么它要有方向?




怎么感觉它们的定义那么象,都看糊涂了~~~[s:6]

第一类曲线积分求的是线质量，当密度（被积函数）为1时，求的是长度。
方向不取决于是哪类积分形式，取决于积分域。因为积分规定必须是\"正向\"的,比如一元积分必须上限大于下限，所以在求解前要把积分域化为正向的。
曲面积分由此类推。相当于求质量，当被积函数为1时，相当于密度为1，变为求体积。
第一类去面积分在做投影时化正向，考虑符号问题，又因为面积元是ds，所以要用公式化为dxdy。

第二类曲面积分实际上是不能直接计算的，要用做投影和带入x、y、z的特殊值来消去dydz、dzdx、dzdy中2个。否则要用第二类曲面积分和第一类曲面积分的关系把第二类去面积分化成第一类去面积分，然后做投影来接。主要是，要求出单位法向量。

原帖由 小红帽fedora 于 2009-4-8 13:57 发表
第一类曲线积分求的是线质量，当密度（被积函数）为1时，求的是长度。
方向不取决于是哪类积分形式，取决于积分域。因为积分规定必须是\"正向\"的,比如一元积分必须上限大于下限，所以在求解前要把积分域化为正向 ...

1.那为什么二类曲线积分的上限不一定大于下限?

2.只有第二类曲线/曲面积分才有方向?

3.最关键的,困扰我好久的:
   不定积分,定积分,二重积分,三重积分,第一类曲线积分,第二类曲线积分,第一类曲面积分,第二类曲面积分 之间是什么关系啊???
   我只会算,却不知道自计算出来的是什么?

多谢赐教!!![s:4]

1、这个问题我到没注意过，不过我觉得所谓正向是一个规定，列式的时候当然可以相反，只不过转化成正向的时候要变号而已吧。
2、不太理解LZ的方向是什么意思。其实第一第二类都有方向。只不过第二类是对坐标的积分，微元已经化成了dxdy形式。所以只要考虑把积分域西格玛投影到区域D就可以了吧。在这个过程中要注意符号。我想LZ说的方向性是不是这个？
3、定积分是一个数值，不定积分是一族函数。二重积分和三重积分之间没有关系。
第一类曲线积分和第二类曲线积分之间存在转化关系。
第一类曲面积分和第二类曲面积分之间也存在转化关系。

考试只考一种转化关系：pdydz+qdzdx+rdxdy=(pcosa+qcosb+rcosc)dS。
可以理解为摄影定理dydz=cosa*dS。把3个面积微元代入上式中左边。

[ 本帖最后由 小红帽fedora 于 2009-4-9 00:39 编辑 ]

我也正在困扰中，也正在摸索中，他们之间就是有很多关系，一定要理清楚

这个有点意思：
1、先说不定积分：不定积分其实是导数的逆运算，只不过导数一样的函数会有很多个，因此才出现的常数C，形成一个函数族
2、定积分：从几何意义上说，定积分就是函数图像与x轴之间的面积（有正负），本来和不定积分没有什么关系，但是在求面积的时候人们发现了它们之间的关系，就是著名的牛顿--莱布尼兹公式，也就是定积分可以通过不定积分来计算。
3、二重积分、三重积分是定积分的推广，从一维来到了二维、三维，如果说定积分表示的面积，那么重积分表示的就是体积。它们的关系和面积与体积的关系是一样一样的。
4、曲线积分和曲面积分是定积分和二重积分的另外一种推广，如果说定积分到重积分是面积到体积的推广，那么定积分到曲线积分就是从直线到曲线的推广，定积分是在x 轴上某一段进行积分，x轴当然是直线，而曲线积分就是在一段曲线上进行积分，从直到弯，二重积分到曲面积分也是一样。
5、第二类曲线积分则是从力做功中抽象出来的，因此它是有符号的，很显然，同一个力，从A到B与从B到A做的功是一正一负互为相反数的，因此它是有符号的。
6、第一类曲线、曲面积分与第二类曲线、曲面积分本来没什么关系，但是有好事者把它们联系了在一起，就是格林公式和高斯公式。这一点和不定积分与定积分是一样的。
说清楚了吗？
当然，如果有说的不对的地方，欢迎指出来，大家共同进步！

原帖由 kangxidai 于 2009-4-9 13:12 发表
这个有点意思：
1、先说不定积分：不定积分其实是导数的逆运算，只不过导数一样的函数会有很多个，因此才出现的常数C，形成一个函数族
2、定积分：从几何意义上说，定积分就是函数图像与x轴之间的面积（有正负 ...

原帖由 小红帽fedora 于 2009-4-8 13:57 发表
第一类曲线积分求的是线质量，当密度（被积函数）为1时，求的是长度。
方向不取决于是哪类积分形式，取决于积分域。因为积分规定必须是\"正向\"的,比如一元积分必须上限大于下限，所以在求解前要把积分域化为正向 ...

越来越完美了,其实我说的,就是这几个积分他们的几何意义,物理意义和最重要的:演变关系!!!

对6L说一下:二重积分计算出的是体积,那三重积分计算出的是什么???

学的好的,总结出一张大表来就完美了~~~!!

这些课本上都有，
各种积分的意义。转化关系。

1、二重积分和三重积分实际上没有关系，ss和sss是相互独立的一个完整的符号。dxdy和dxdydz也没有关系，是独立的符号（别的可什么也别想。。。不要想太多了。。。。）。分别表示曲面西格玛在对应方向上投影的面积元。而且，dxdy可以出现在代数式中，作为一个量，但是只有ss才能消去它。同理sss和dxdydz一样。
2、二重积分和三重积分的计算关系，可以通过“先二后一”或者“先一后二”借助二重积分来计算三重积分。
3、二重积分，当被积函数是表示“高”的时候确实是计算体积（实际上相当于用先一后二法计算被积函数为1的三重积分）。当被积函数表示某种属性的密度的时候计算的是该属性在这个平面区域上的总量。比如质量。或者热量。
   三重积分的被积函数只能表示某种属性。此时不具备空间几何特征。计算结果是某种属性在这个空间区域的总量。当三重积分的被积函数为1时，表示计算体积。
4、曲线的积分第一类和第二类的转化没有什么用途。
   主要是曲面的第一类和第二类之间的转化有用：pdydz+qdzdx+rdxdy=(pcosa+qcosb+rcosc)dS。有时候用了斯托克斯公式之后，三个面积元剩下至少2个的时候，非要用这个转化关系才能计算。这个转化关系也能推导出斯托克斯公式的第二种形式。

[ 本帖最后由 小红帽fedora 于 2009-4-9 19:58 编辑 ]

呵呵，二重积分计算出来的是体积，三重积分算出来的叫什么呢？
叫什么并不重要，关键就是它也是一种推广，只不过不能像面积体积一样容易想象，
就像二维、三维坐标可以通过坐标系表示但是四维、五维就没有办法用坐标系表示一样，
换个角度说，我们可以把长度、面积、体积都叫做体积，只不过分成一维体积、二维体积、三维体积，
那么三重积分算出来的就是四维体积，n重积分算出来的就是n+1维体积
能想明白吗？

9L真是太高深了。。。。。。