求解一道初级的极限题目，请各位帮忙~~

lyraley · 发表于 10-8-22 22:16:29

下面这道极限题目，有正确的解法在后面。我的疑问是，下面的另一种解法是错误的，请问这种错误的解法错在哪里了？

题目：

正确的解法：

错误的解法：

5月的阳光 · 发表于 10-8-22 23:33:55

倒数第3到倒数第2 未定式不能直接消去

lielongxingkong · 发表于 10-8-23 01:20:44

第二行到第三行的化简是不可以的，从（1+x）^（1/x2）化到exp（1/x）不成立，如提出1/x放到指数上，下面是e/（1+x）^（1/x）这是一个1的无穷次方的问题

wyttt · 发表于 10-8-23 09:43:44

第一步就错，这种解法实际上默认，减号前后两式的极限都存在。而事实是第一个式子的极限不存在，所以不能单独处理。还记得等价无穷小吧，他应用的时候强调积商因子，就是这个道理。

有无之境 · 发表于 10-8-23 13:58:06

x 没有同时去极限的问题，错在倒数第3-2行的那步。

详细解释参见：
数学三复习全书 P11 上方的评注

potatolyh · 发表于 10-8-23 19:14:42

其实你第一步就错了，你用了一个指数的形式来解，但是应该把所有的数都提到e的指数上去，而不仅仅是1/x，第一步正确的应该是
ln[e^(1/x-ln(1+x)/x^2],而你仅仅将1/x提到了上面。

masure · 发表于 10-8-23 20:25:59

同意“第一步就错，这种解法实际上默认，减号前后两式的极限都存在。而事实是第一个式子的极限不存在，所以不能单独处理。还记得等价无穷小吧，他应用的时候强调积商因子，就是这个道理。 ”

lielongxingkong · 发表于 10-8-24 22:52:45

不同意“第一步就错，这种解法实际上默认，减号前后两式的极限都存在。而事实是第一个式子的极限不存在，所以不能单独处理。还记得等价无穷小吧，他应用的时候强调积商因子，就是这个道理。 ”
其实第一步没有问题，问题在于第二行到第三行的转化上
用几何画板画了一下第二行 ln之后的函数发现这个函数在x=0处的极限值=根号e
其实从第二行往下做是可以得到正确答案1/2的，不过求解的过程过于复杂，本质还是正确方法的计算
这个解法的错误在于直接得到e

Jonlly · 发表于 10-8-24 23:04:39

第一步没有默认存在形式，只是变换了式子的形式，第二步就错了，默认2个极限都存在。。。。

jinguangyi425 · 发表于 10-8-25 22:52:49

其实就是无穷小替换成e这步出现了问题，无穷小替换后必须两个极限都存在，而错误的解法中一个变为e，一个指数变为1\\x，而1\\x极限不存在这样替换不行，必须记住无穷小替换必须确保在两个乘积的极限都存在的前提下。。。。。

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