设A和B都是n级实对称矩阵, 且A^3=B^3 . 证明:A=B

lxdyahoo · 发表于 11-1-3 21:19:48

任意实对称矩阵可以存在一个可逆矩阵c 是的c-1Ac=对角矩阵
任意实对称矩阵可以存在一个正交矩阵c 是的c-1Ac=对角矩阵
北大高等代数教材上的定理

lxdyahoo · 发表于 11-1-3 21:48:49

我想问一下你不是今年考吧？连教材都不看

tianliangzh · 发表于 11-1-3 22:07:35

这又有啥关系呢？这应该都知道吧？

lxdyahoo · 发表于 11-1-3 22:26:18

A=Pdiag(a1 a2.....an)P-1 b=Qdiag(b1.. bn)Q-1 A3=Pdiag(a1^3 a2^3.....an^3)P-1 B3=Qdiag(b1^3.. bn^3)Q-1

其实可以要求 P，Q 分别把 A，B 化成的对角形都按递增排列，这样由于 A，B 的立方相等， P，Q 分别把 A，B 化成的对角形是相等的，记为 C，P'AP=C，Q'BQ=C。令Q=PR，R也是正交矩阵，RC^3=(C^3)R，RC=CR，Q'BQ=R'P'BPR=C，P'BP=RCR'=CRR'=C，A=PCP'=B=PCP'

这两步骤用的就是教材这两个定理你说有关系没？

tianliangzh · 发表于 11-1-5 22:17:48

但是，这个我懂，只是这种证明方法是得不到结果的，不知道兄弟你这样弄出来了没？我化了不知道多少遍了，这样得不到结果，，只好改用空间观点来证了

lxdyahoo · 发表于 11-1-6 12:33:07

K=K‘=K-1 其实他们没写错

tianliangzh · 发表于 11-1-10 00:42:54

可以证明A与A^3的特征子空间完全相同，B与B^3的相同，从而A,B是两个完全相同的线性变换

lxdyahoo · 发表于 11-1-11 11:50:08

其实可以要求 P，Q 分别把 A，B 化成的对角形都按递增排列，这样由于 A，B 的立方相等， P，Q 分别把 A，B 化成的对角形是相等的，记为 C，P'AP=C，Q'BQ=C。令Q=PR，R也是正交矩阵（通过正交矩阵的定义可以推导），RC^3=(C^3)R，RC=CR，Q'BQ=R'P'BPR=C，P'BP=RCR'=CRR'=C，A=PCP'=B=PCP'
P'BP=C
P'AP=C P是正交矩阵
应为条件是充要条件不用充分性必要性

lxdyahoo · 发表于 11-1-11 18:56:24

如果把条件改成A^2=B^2 结论绝对不成立

huxuefei555 · 发表于 11-3-5 17:03:01

8楼正解

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设A和B都是n级实对称矩阵, 且A^3=B^3 . 证明:A=B

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