华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题
一．（24分）计算题：
（1）
（2）
（3）设是由方程
,所确定的可微隐函数，试求Z.
二．（14分）二、设 ，；，；
证明： （1）是严格递增的;（2）是严格递减的;
（3）用对数函数的严格递增性质证明： ，对一切nN *成立.
三．（12分）设在中任意两点之间都具有介值性，而且在内可导，（正常数）, 证明在点a右连续（同理在点b左连续）.
四．（14分）设证明:
（1）,n=2,3…;
（2）n=1,2,3….
五（12分）设S为一旋转曲面，由平面光滑曲线饶轴旋转而成。试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S的面积公式为
（提示：据空间解几知道S的方程为）
六（24分）级数问题：
设,求。
设收敛，证明:
。
设为上的连续函数序列，且
证明：若在上无零点。则当充分大时在上也无零点，并有
.
华东师大2000年数分考研试题解答
一．（1）解：
；
解：
；
解：，
，
；
二、证明 （1） (应用比值法与贝努里不等式)
由于
,
于是有,所以是严格递增的;
(2) (应用比值法与贝努里不等式)
由于
,
于是有,所以是严格递减的;
（3）因为，所以，
于是，对一切nN *成立
证明，取，
当时，若，
则在右连续；
否则，使得.
不妨设，
满足：，
，
由题设条件，，使得，
于是对于一切，有
，
所以在右连续.
同理可证在左连续.
四、证明 （1）因为
，
所以有，；
（2）由（1），，
，（）。
或者 利用贝努利不等式,得
.
五、证明
曲线
绕轴旋转所得旋转曲面的面积。
显然，曲面的方程为
，
由此得旋转曲面在正方向的方程为，由此得
，，
，
于是，面积
，
其中是旋转曲面在平面的投影区域，
，
于是
。
六 解 （1）由，
得到 ，
再由泰勒系数公式，得到
，
于是求得
；
（2）设，，
，
由，都存在，
因此，
即；
（3）因为为连续函数序列，在上一致收敛于，故在上连续，又因为，所以
，，
记，则有，
对，，当时，对一切，都有
，
从而 ，
，
由此可见，当时，都无零点，又因为，，
故由
，，
即得 ，，
故在上一致收敛于。
华东师范大学2003年攻读硕士学位研究生入学试题
一（30分）简答题（只需写出正确答案）。
1.；
2.，则
3.
4.，则
5.，则
6.方向为顺时针方向，
则
二.（20分）判别题（正确的说明理由，错误的举出反例）
1.若则.
2.若在上可导，且导函数有界，则在上一致连续。
3.若在上可积，
在上可导，则
4.若收敛，且则收敛。
三.（17分）求极限,记此极限为，
求函数的间断点，并判别间断点类型.
四.（17分）设在上连续，且证明,其中。
五.（17分）若函数在上对连续，且存在，对，.
求证：在上连续.
六.（17分）求下列积分:
其中
.
七（17分）设
（1）求证：；
（2）求证：。
八（15分）
求证：收敛。
华东师大2003年数学分析考研试题解答
（1）
；
（2）
；
；
；
；
.
（1）错.
例如，但.
正确. 设，，
对于任意，有
，
由此可知，在上一致连续.
错. 例如
，
显然在上可积，且，
，，
但.
正确. 设，，
则，，
，
，
故有.
解：
，
由于， 不存在，，
因此为的可去间断点，
，为的第二间断点.
证明：有题设条件，得
，，
于是.
证明：，有
，，
由条件，利用夹逼定理，
即得，
亦即在处连续，
从而在上连续.
证明：记，
因为在上，
而在上，
故有，
又因为在平面上的投影区域为，
又的方程为，
，
所以可求得
.
证明（1）把欲证明的不等式经移项后写为：
，
只要把此式左边的分母乘至右边，经过整理后可得.
主要过程如下：
，
于是成立，
故成立；
记，
由（1）中的等式，可得如下等式成立，
，
，
由，在上连续，
故，，
即，.
由于时，；
故时，.
估计
,，
其中正常数或者是，或者，
由此又得
，，
所以根据Cauchy收敛准则为收敛数列. |
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