又有问题啦！唉！

干滴滴 · 发表于 09-6-1 19:11:35

函数在某点x=x0连续，能推出在该点的某一个邻域内函数都连续吗？
函数在某点x=x0可导，能推出在该点的某一个邻域内函数都可导吗？这两条貌似都是对的，但我也无法肯定，也没相关结论

k0k0k0k0 · 发表于 09-6-1 20:44:06

我的答案1对，2不对。

干滴滴 · 发表于 09-6-1 22:51:29

恩，我也觉得是，呵呵

hugeskych · 发表于 09-6-2 11:22:34

a.函数在一点连续的条件是函数在该点的邻域内有定义函数在一点连续应该不能推出在邻域内连续吧
b.函数在一点可导书上说在该点连续至于邻域仍然不行吧
很纠结。。。。

干滴滴 · 发表于 09-6-2 12:22:23

连续的话必然存在一邻域都连续，这在函数图像上很直观，一定是对的吧！下面一个估计是错的

airliuxiao · 发表于 09-6-2 12:30:23

2明显不对，个人意见！

hugeskych · 发表于 09-6-2 13:14:07

原帖由 干滴滴 于 2009-6-2 12:22 发表
连续的话必然存在一邻域都连续，这在函数图像上很直观，一定是对的吧！下面一个估计是错的

定义上只是要求该函数在邻域内有定义并没有邻域连续这么强的条件...
So 如果出选择题这两个我都不选..

干滴滴 · 发表于 09-6-2 14:01:23

如果出选择题的话我选上面一个是对的，可能那个结论不好用数学表达式证明出来，但直观上看一定是对的！至少地球人不可能举例推翻他的！呵呵

hugeskych · 发表于 09-6-2 18:44:20

原帖由 干滴滴 于 2009-6-2 14:01 发表
如果出选择题的话我选上面一个是对的，可能那个结论不好用数学表达式证明出来，但直观上看一定是对的！至少地球人不可能举例推翻他的！呵呵

查了一下书找到一个这样的函数
a.一道例题设x y为实数，x<y 则存在有理数r满足x<r<y,此结论说明在任何两个不相等的实数之间必有另一个不同于此两个实数的实数，且既有有理数又有无理数
b.一个习题设函数f(x)={x,x为有理数|0，x为无理数} 则此函数在x=0(右)连续而在其他点都不连续

PS :如果右连续应该也是左连续啊好纠结

kangxidai · 发表于 09-6-2 19:06:40

我觉得都不对
1可以参考定义在 [0,1] 上的黎曼函数R(x)，9楼说的好像就是它，在无理数点都连续，有理数点除了0都不连续
利用狄利克雷函数也可以构造只在一点连续的函数，比如 f(x)=xD(x), D(x)是有理数为1，无理数为0的函数，则 f(x) 只在0点连续，其他点都不连续
2好像在另一个帖子里讨论过了
一些看着成立但实际不成立的例子都可以考虑黎曼函数和狄利克雷函数，不要在初等函数里找，初等函数性质太好了

[ 本帖最后由 kangxidai 于 2009-6-2 19:14 编辑 ]

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