唉！问题不断啊！

函数在某点可导的话，那么对应的导函数在该点可能存在第一类间断点和无穷型间断点吗？谁有很肯定的答案告诉小弟吧！我记住就行，不想研究下去了，先应付了考研再说，而且我又不是学数学的，呵呵

需要研究吗 貌似不会考啊

别钻了，小心出不来

好的，呵呵，再钻肯定会死在考研战场上！

这是个很有深度的问题！
用反证法，假设某个函数的导数f`(x)存在间断点，那么f`(x)在该点（包括领域）不连续，所以在该点原函数不存在，这与题目中在该点可导的条件矛盾。
所以可以证明，f(x)在某点的导数一定是连续函数。

欢迎西瓜~~~~~

[ 本帖最后由 小红帽fedora 于 2009-6-1 23:11 编辑 ]

导函数在某点不连续能推出原函数在该点不存在吗？我也没接触多少课外结论，搞不清楚啊！呵呵，算了

而且你有没有听说过光滑曲线，大概就是导函数连续的曲线吧！既然存在光滑曲线就应该存在不光滑曲线，也就是应该存在导数不连续的曲线！不知道我的歪理对不对呀！唉！不钻了！

原帖由 干滴滴 于 2009-6-2 00:13 发表
而且你有没有听说过光滑曲线，大概就是导函数连续的曲线吧！既然存在光滑曲线就应该存在不光滑曲线，也就是应该存在导数不连续的曲线！不知道我的歪理对不对呀！唉！不钻了！

光滑曲线是以各点可导的阶数来确定的，可导阶数越高的曲线越光滑。这个条件用处不大，可以不必在意，因为只是一种描述而已。

我上面的回帖是带有个人猜测性的。可能是错误的。

不过，我可以肯定的回答你：函数的可导点，不可能是无穷间断点，也不可能是跳跃间断点。

因为你可以回忆一下导数存在的2个判定：1、导数的定义收敛为常数。显然如果是无穷间断点就不收敛于常数了，就是不可导了。
2、左右导数不相等就不可导。如果是跳跃间断点，那么左右导数（左导数和导数的左极限是不同的，不过如果导函数是连续的就可以等价）就不相等了，那就是不可导了。
反过来说，导数存在无穷间断点和跳跃间断点，但是这2种间断点都是原函数的不可导点。

我虽然没有讨论可去间断点，但是我认为可去间断点是可能的，因为可去间断点是符合导数的定义的。（这句话欢迎西瓜）
进一步说，一阶导连续，无法保证原函数本身二阶可导，但是二阶可导的函数肯定是一阶可导的。所以从这也可以看出，越光滑的曲线可导的阶数越高。

[ 本帖最后由 小红帽fedora 于 2009-6-2 02:44 编辑 ]

不可能是无穷间断点，也不可能是跳跃间断点!这其实很容易想到，函数在那点可导的话，说明导函数在对应点有定义，而无穷间断点和跳跃间断点在那点没定义（振荡间断点在那点应该是没有定义的吧，这个我也不肯定，呵呵，就当是吧）！
我有点新发现，你百度一下，有个叫达布中值定理的，说明了某点如果可导的话，导函数在对应点不可能是第一类间断点！那么我们进一步推出了如果函数某点可到的话，导函数在对应点必连续的！有道理吧！不是第一类也不是第二类间断点，那必然连续了！（还有就是有些同学说在陈文灯的书上见到过定理----如果函数某点可导的话，导函数在对应点不可能是第一类间断点，这就更赞同了达布中值定理的推论）

李的书上了 说了 不可能是第一类  
第二类是有可能的
貌似跟你另外那导二介 的问题是一样