线代一小题

[s:16]

A^2=A，推出A的特征值0,1
因为N阶A秩是R，所以A*A=1*A，1所对应的特征向量是R个，
R(0*E-A)=R(-A)=R,所以0对应特征向量是N-R（基础解析）
所以A可对角化，N-R个0，R个1
A-E 就相似于N-R个-1，R个0
所以R(A-E)=N-R

证明角度很多 R(A-(A-E))<=R(A)+R(A-E)-N<=R(A(A-E))
推出R(E)<=R(A)+R(A-E)-N<=R(AA-E)
N<=R(A)+R(A-E)<=N
所以R(A)+R(A-E)=N,因为R(A)=R，所以R(A-E)=N-R

我也来补充一个：
A(A-E)=0,所以有A-E的行向量都是AX=0的解，因为N阶矩阵A得秩为R，所以基础解系一共有N-R个，所以R(A-E)=N-R

老大，你的这步：R(A-(A-E))<=R(A)+R(A-E)-N<=R(A(A-E))，我没看明白，不过受你启发我知道怎么做啦！
由A(A-E)=0得出R(A)+R(A-E)<=N，
N=R(E)=R(A-(A-E))<=R(A)+R(-(A-E))<=R(A)+R(A-E)
所以R(A)+R(A-E)=N，所以R(A-E)=N-R
谢啦

你的说法不对，确实(A-E)的列向量都是AX=0的解，但这只能说明(A-E)的最大无关组至多只有（N-R）列，不能说明秩恰好是（N-R）

对啊，你自己不是做出来吗
我用的式子是R(A+-B)<=R(A)+R(B)-N<=R(AB)

对啊，你自己不是做出来吗
我用的式子是R(A+-B)<=R(A)+R(B)-N<=R(AB)

对啊，你自己不是做出来吗
我用的式子是R(A+-B)<=R(A)+R(B)-N<=R(AB)

原帖由 干滴滴 于 2009-9-18 12:52 发表
你的说法不对，确实(A-E)的列向量都是AX=0的解，但这只能说明(A-E)的最大无关组至多只有（N-R）列，不能说明秩恰好是（N-R）

对，思路很正确， 当AB=0时，R(A)+R(B)-N<=0，就是这样推出来的，B是它的解向量（由基础解析组成），所以R(B)<=它的基础解析